Let $f ( x , y ) = \tan ^ { - 1 } \left( \frac { y } { x } \right)$ . Its gradient vector field is

A) $\nabla f ( x , y ) = \frac { y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathbf { i } + \frac { x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathbf { j }$
B) $\nabla f ( x , y ) = - \frac { y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathbf { i } - \frac { x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathbf { j }$
C) $\nabla f ( x , y ) = - \frac { y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathbf { i } + \frac { x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathbf { j }$
D) $\nabla f ( x , y ) = - \frac { y } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } \mathbf { i } + \frac { x } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } \mathbf { j }$
E) $\nabla f ( x , y ) = \frac { y } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } \mathbf { i } + \frac { x } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } \mathbf { j }$

Question

Let $f ( x , y ) = \tan ^ { - 1 } \left( \frac { y } { x } \right)$ . Its gradient vector field is

A) $\nabla f ( x , y ) = \frac { y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathbf { i } + \frac { x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathbf { j }$
B) $\nabla f ( x , y ) = - \frac { y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathbf { i } - \frac { x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathbf { j }$
C) $\nabla f ( x , y ) = - \frac { y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathbf { i } + \frac { x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathbf { j }$
D) $\nabla f ( x , y ) = - \frac { y } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } \mathbf { i } + \frac { x } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } \mathbf { j }$
E) $\nabla f ( x , y ) = \frac { y } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } \mathbf { i } + \frac { x } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } \mathbf { j }$

Quizplus · Accepted Answer

The gradient vector $\nabla f(x, y)$ of $f(x, y) = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ is calculated by taking the partial derivatives of $f$ with respect to $x$ and $y$. The partial derivative with respect to $x$ is $-\frac{y}{x^2 + y^2}$ and with respect to $y$ is $\frac{x}{x^2 + y^2}$, leading to the gradient vector $\nabla f(x, y) = -\frac{y}{x^2 + y^2}\mathbf{i} + \frac{x}{x^2 + y^2}\mathbf{j}$.

Let f(x,y)=tan⁡−1(yx)f ( x , y ) = \tan ^ { - 1 } \left( \frac { y } { x } \right)f(x,y)=tan−1(xy​)

Let $f ( x , y ) = \tan ^ { - 1 } \left( \frac { y } { x } \right)$