The integral $\int \frac { \sqrt { x ^ { 2 } - 4 } } { x ^ { 2 } } d x$ is

A) $\frac { x \ln \left( \sqrt { x ^ { 2 } - 4 } + 2 x \right) - \sqrt { x ^ { 2 } - 4 } } { x } + C$
B) $- \frac { x \ln \left( 2 \sqrt { x ^ { 2 } - 4 } + 2 x \right) + \sqrt { x ^ { 2 } - 4 } } { x } + C$
C) $- \frac { x \ln \left( 2 \sqrt { x ^ { 2 } - 4 } + 2 x \right) - \sqrt { x ^ { 2 } - 4 } } { x } + C$
D) $\frac { x \ln \left( 2 \sqrt { x ^ { 2 } - 4 } + 2 x \right) + \sqrt { x ^ { 2 } - 4 } } { x } + C$
E) $\frac { x \ln \left( 2 \sqrt { x ^ { 2 } - 4 } + 2 x \right) - \sqrt { x ^ { 2 } - 4 } } { x } + C$

Question

The integral $\int \frac { \sqrt { x ^ { 2 } - 4 } } { x ^ { 2 } } d x$ is

A) $\frac { x \ln \left( \sqrt { x ^ { 2 } - 4 } + 2 x \right) - \sqrt { x ^ { 2 } - 4 } } { x } + C$
B) $- \frac { x \ln \left( 2 \sqrt { x ^ { 2 } - 4 } + 2 x \right) + \sqrt { x ^ { 2 } - 4 } } { x } + C$
C) $- \frac { x \ln \left( 2 \sqrt { x ^ { 2 } - 4 } + 2 x \right) - \sqrt { x ^ { 2 } - 4 } } { x } + C$
D) $\frac { x \ln \left( 2 \sqrt { x ^ { 2 } - 4 } + 2 x \right) + \sqrt { x ^ { 2 } - 4 } } { x } + C$
E) $\frac { x \ln \left( 2 \sqrt { x ^ { 2 } - 4 } + 2 x \right) - \sqrt { x ^ { 2 } - 4 } } { x } + C$

Quizplus · Accepted Answer

The integral can be solved using trigonometric substitution or partial fractions, leading to the result where the logarithmic function includes a factor of 2 inside the logarithm and a subtraction of the square root term, as shown in option E.

The Integral ∫x2−4x2dx\int \frac { \sqrt { x ^ { 2 } - 4 } } { x ^ { 2 } } d x∫x2x2−4​​dx

The Integral $\int \frac { \sqrt { x ^ { 2 } - 4 } } { x ^ { 2 } } d x$