$\text { Differentiate the function } f ( x ) = \ln \left( \frac { e ^ { 5 x } + 1 } { e ^ { 2 x } + 1 } \right) \text {. }$
A) $\frac { 2 e ^ { 2 x } + 1 } { 5 e ^ { 2 x } + 1 }$
B) $\frac { 5 e ^ { 5 x } } { e ^ { 5 x } + 1 } - \frac { 2 e ^ { 2 x } } { e ^ { 2 x } + 1 }$
C) $\frac { 5 e ^ { 5 x } } { e ^ { 5 x } + 1 } + \frac { 2 e ^ { 2 x } } { e ^ { 2 x } + 1 }$
D) $\frac { e ^ { 2 x } + 1 } { e ^ { 5 x } + 1 }$
E) $\frac { e ^ { 5 x } } { e ^ { 5 x } + 1 } + \frac { e ^ { 2 x } } { e ^ { 2 x } + 1 }$

Question

$\text { Differentiate the function } f ( x ) = \ln \left( \frac { e ^ { 5 x } + 1 } { e ^ { 2 x } + 1 } \right) \text {. }$ 
A) $\frac { 2 e ^ { 2 x } + 1 } { 5 e ^ { 2 x } + 1 }$
B) $\frac { 5 e ^ { 5 x } } { e ^ { 5 x } + 1 } - \frac { 2 e ^ { 2 x } } { e ^ { 2 x } + 1 }$
C) $\frac { 5 e ^ { 5 x } } { e ^ { 5 x } + 1 } + \frac { 2 e ^ { 2 x } } { e ^ { 2 x } + 1 }$
D) $\frac { e ^ { 2 x } + 1 } { e ^ { 5 x } + 1 }$
E) $\frac { e ^ { 5 x } } { e ^ { 5 x } + 1 } + \frac { e ^ { 2 x } } { e ^ { 2 x } + 1 }$

Quizplus · Accepted Answer

Using the quotient rule of logarithmic functions,
$$
\frac{d}{dx} \ln \left( \frac { e ^ { 5 x } + 1 } { e ^ { 2 x } + 1 } ight)
= \frac{\frac{d}{dx}(e^{5x}+1)/(e^{2x}+1) }{(e^{5x}+1)/(e^{2x}+1)}
$$
Now, let us differentiate the numerator using the chain rule:
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dx}(e^{5x}+1)&=e^{5x}(5)+0\
&=5e^{5x}
\end{aligned}
$$
Similarly, differentiating the denominator by the chain rule
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dx}(e^{2x}+1)&=e^{2x}(2)+0\
&=2e^{2x}
\end{aligned}
$$
Therefore,
$$
\frac{d}{dx} \ln \left( \frac { e ^ { 5 x } + 1 } { e ^ { 2 x } + 1 } ight)
=\frac{5e^{5x}}{e^{2x}+1} - \frac{2e^{2x}}{e^{5x}+1}
$$

Differentiate the function f(x)=ln⁡(e5x+1e2x+1). \text { Differentiate the function } f ( x ) = \ln \left( \frac { e ^ { 5 x } + 1 } { e ^ { 2 x } + 1 } \right) \text {. } Differentiate the function f(x)=ln(e2x+1e5x+1​).

$\text { Differentiate the function } f ( x ) = \ln \left( \frac { e ^ { 5 x } + 1 } { e ^ { 2 x } + 1 } \right) \text {. }$