Let $f ( x , y ) = \int _ { 0 } ^ { x y } \sin \left( t ^ { 2 } \right) d t$ . Find $f _ { x } \left( 1 , \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } \right)$ .
A)0
B) $\sqrt { \frac { \pi } { 2 } }$
C) $\frac { \pi } { 2 }$
D)3
E)4
F) $- 1$
G) $- \sqrt { \frac { \pi } { 2 } }$

H) $- 3$

Question

Let $f ( x , y ) = \int _ { 0 } ^ { x y } \sin \left( t ^ { 2 } \right) d t$ . Find $f _ { x } \left( 1 , \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } \right)$ .
A)0
B) $\sqrt { \frac { \pi } { 2 } }$ 
C) $\frac { \pi } { 2 }$ 
D)3
E)4
F) $- 1$ 
G) $- \sqrt { \frac { \pi } { 2 } }$

H) $- 3$

Quizplus · Accepted Answer

By the Fundamental Theorem of Calculus, $$f_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x} \int_0^{xy} \sin(t^2) \ dt = \sin((xy)^2) \cdot y = \sin(\pi/2) \cdot \sqrt{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}.$$

Let f(x,y)=∫0xysin⁡(t2)dtf ( x , y ) = \int _ { 0 } ^ { x y } \sin \left( t ^ { 2 } \right) d tf(x,y)=∫0xy​sin(t2)dt

Let $f ( x , y ) = \int _ { 0 } ^ { x y } \sin \left( t ^ { 2 } \right) d t$