Find the gradient vector field of the function $f ( x , y ) = \ln \left( \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right)$ .
A) $\left( \frac { 2 x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , \frac { 2 y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right)$
B)$\left( \frac { x } { 2 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) } , \frac { y } { 2 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) } \right)$
C)$\left( \frac { 1 } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , \frac { 1 } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right)$
D)$\left( \frac { 1 } { 2 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) } , \frac { 1 } { 2 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) } \right)$
E)$\left( \frac { x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , \frac { y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right)$
F)$\left( \frac { - x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , \frac { - y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right)$
G)$\left( \frac { x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , \frac { - y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right)$
H)$\left( \frac { - x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , \frac { y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right)$

Question

Find the gradient vector field of the function $f ( x , y ) = \ln \left( \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right)$ .
A) $\left( \frac { 2 x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , \frac { 2 y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right)$ 
B)$\left( \frac { x } { 2 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) } , \frac { y } { 2 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) } \right)$ 
C)$\left( \frac { 1 } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , \frac { 1 } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right)$
D)$\left( \frac { 1 } { 2 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) } , \frac { 1 } { 2 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) } \right)$  
E)$\left( \frac { x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , \frac { y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right)$ 
F)$\left( \frac { - x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , \frac { - y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right)$ 
G)$\left( \frac { x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , \frac { - y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right)$ 
H)$\left( \frac { - x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , \frac { y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right)$

Quizplus · Accepted Answer

The gradient vector field of $f(x, y) = \ln(\sqrt{x^2 + y^2})$ is found by taking the partial derivatives of $f$ with respect to $x$ and $y$, respectively. Simplifying the expression inside the logarithm gives $\ln(\sqrt{x^2 + y^2}) = \frac{1}{2}\ln(x^2 + y^2)$. The partial derivative with respect to $x$ is $\frac{x}{x^2 + y^2}$ and with respect to $y$ is $\frac{y}{x^2 + y^2}$, leading to the gradient vector field $\left( \frac{x}{x^2 + y^2}, \frac{y}{x^2 + y^2} \right)$.

Find the Gradient Vector Field of the Function f(x,y)=ln⁡(x2+y2)f ( x , y ) = \ln \left( \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right)f(x,y)=ln(x2+y2​)

Find the Gradient Vector Field of the Function $f ( x , y ) = \ln \left( \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right)$