Let $\mathbf { r } ( t ) = \sin ( 2 t ) \mathbf { i } - \cos ( 2 t ) \mathbf { j } + 5 t \mathbf { k }$ Then the unit tangent vector $\mathbf { T } \left( \frac { \pi } { 4 } \right)$ is

A) $\frac { 5 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { j } + \frac { 2 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { k }$
B) $- \frac { 2 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { j } - \frac { 5 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { k }$
C) $\frac { 2 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { j } + \frac { 5 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { k }$
D) $\frac { 2 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { j } - \frac { 5 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { k }$
E) $- \frac { 2 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { j } + \frac { 5 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { k }$

Question

Let $\mathbf { r } ( t ) = \sin ( 2 t ) \mathbf { i } - \cos ( 2 t ) \mathbf { j } + 5 t \mathbf { k }$ Then the unit tangent vector $\mathbf { T } \left( \frac { \pi } { 4 } \right)$ is

A) $\frac { 5 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { j } + \frac { 2 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { k }$
B) $- \frac { 2 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { j } - \frac { 5 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { k }$
C) $\frac { 2 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { j } + \frac { 5 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { k }$
D) $\frac { 2 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { j } - \frac { 5 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { k }$
E) $- \frac { 2 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { j } + \frac { 5 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { k }$

Quizplus · Accepted Answer

The unit tangent vector is given by $\mathbf { T } ( t ) = \frac { \mathbf { r } ' ( t ) } { \left\| \mathbf { r } ' ( t ) \right\|} $. So,$$\mathbf { r } ' ( t ) = 2 \cos ( 2 t ) \mathbf { i } + 2 \sin ( 2 t ) \mathbf { j } + 5 \mathbf { k }$$$$\left\| \mathbf { r } ' ( t ) \right\| = \sqrt { 4 \cos ^ { 2 } ( 2 t ) + 4 \sin ^ { 2 } ( 2 t ) + 25 } = \sqrt { 29 }$$Therefore,$$\mathbf { T } \left( \frac { \pi } { 4 } \right) = \frac { \mathbf { r } ' \left( \frac { \pi } { 4 } \right) } { \left\| \mathbf { r } ' \left( \frac { \pi } { 4 } \right) \right\|} = \frac { 2 \mathbf { j } + 5 \mathbf { k } } { \sqrt { 29 } } = \frac { 2 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { j } + \frac { 5 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { k }$$

Let r(t)=sin⁡(2t)i−cos⁡(2t)j+5tk\mathbf { r } ( t ) = \sin ( 2 t ) \mathbf { i } - \cos ( 2 t ) \mathbf { j } + 5 t \mathbf { k }r(t)=sin(2t)i−cos(2t)j+5tk

Let $\mathbf { r } ( t ) = \sin ( 2 t ) \mathbf { i } - \cos ( 2 t ) \mathbf { j } + 5 t \mathbf { k }$