If I = $\int $C $\left( e ^ { y } - 2 x y \right) d x + \left( x e ^ { y } - x ^ { 2 } \right) d y$ is independent of the path where C is a curve from (2, 1) to (1, 0) then I is

A) $5 - 2 e$
B) $5 + 2 e$
C) $- 5 - 2 e$
D) $- 5 + 2 e$
E) $5 - e$

Question

If I = $\int $C $\left( e ^ { y } - 2 x y \right) d x + \left( x e ^ { y } - x ^ { 2 } \right) d y$ is independent of the path where C is a curve from (2, 1) to (1, 0) then I is

A) $5 - 2 e$
B) $5 + 2 e$
C) $- 5 - 2 e$
D) $- 5 + 2 e$
E) $5 - e$

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Explanation:Given I = $\int $C $\left( e ^ { y } - 2 x y \right) d x + \left( x e ^ { y } - x ^ { 2 } \right) d y$Here M = $e ^ { y } - 2 x y$ and N = $x e ^ { y } - x ^ { 2 }$$\frac { \partial M } { \partial y } = e ^ { y } - 2 x = \frac { \partial N } { \partial x }$So, I is independent of the path.Now, I = $\int $C M dx + N dy= $\int $C $\left( e ^ { y } - 2 x y \right) d x + \left( x e ^ { y } - x ^ { 2 } \right) d y$= $\int $C $\left( e ^ { y } d x + x e ^ { y } d y \right) - \int $C $\left( 2 x y d x + x ^ { 2 } d y \right)$= $e ^ { y } x + \frac { x ^ { 2 } e ^ { y } } { 2 } - x ^ { 2 } y$ + C= $e ^ { y } x + \frac { x ^ { 2 } e ^ { y } } { 2 } - x ^ { 2 } y + C$Now, I = $e ^ { y } x + \frac { x ^ { 2 } e ^ { y } } { 2 } - x ^ { 2 } y + C$At (2, 1), I = $e ^ { 1 } \times 2 + \frac { 2 ^ { 2 } e ^ { 1 } } { 2 } - 2 ^ { 2 } \times 1 + C$= $2 e + 2 - 4 + C$= $2 e - 2 + C$At (1, 0), I = $e ^ { 0 } \times 1 + \frac { 1 ^ { 2 } e ^ { 0 } } { 2 } - 1 ^ { 2 } \times 0 + C$= $1 + \frac { 1 } { 2 } + C$= $\frac { 3 } { 2 } + C$Therefore, $2 e - 2 + C = \frac { 3 } { 2 } + C$$\Rightarrow 2 e - 2 = \frac { 3 } { 2 }$$\Rightarrow 2 e = \frac { 7 } { 2 }$$\Rightarrow e = \frac { 7 } { 4 }$Therefore, I = $e ^ { y } x + \frac { x ^ { 2 } e ^ { y } } { 2 } - x ^ { 2 } y + C$= $\frac { 7 } { 4 } x + \frac { 7 x ^ { 2 } } { 8 } - x ^ { 2 } y + C$At (1, 0), I = $\frac { 7 } { 4 } \times 1 + \frac { 7 \times 1 ^ { 2 } } { 8 } - 1 ^ { 2 } \times 0 + C$= $\frac { 7 } { 4 } + \frac { 7 } { 8 } + C$= $\frac { 14 } { 8 } + \frac { 7 } { 8 } + C$= $\frac { 21 } { 8 } + C$Therefore, I = $\frac { 21 } { 8 } + C$Hence, I = $5 - 2 e$.

If I = ∫\int ∫ C (ey−2xy)dx+(xey−x2)dy\left( e ^ { y } - 2 x y \right) d x + \left( x e ^ { y } - x ^ { 2 } \right) d y(ey−2xy)dx+(xey−x2)dy

If I = $\int$ C $\left( e ^ { y } - 2 x y \right) d x + \left( x e ^ { y } - x ^ { 2 } \right) d y$