Find the integral. Select the correct answer.
$$\int \frac { x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } + 6 x - 2 } { x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } + x } d x$$
A) $\ln \left| \frac { x - 1 } { x ^ { 2 } } \right| - \frac { 2 } { x - 1 } + x + C$
B) $\ln \left| \frac { x ^ { 2 } } { x - 1 } \right| - \frac { 2 } { x - 1 } + x + C$
C) $\ln \left| \frac { x ^ { 2 } } { x - 1 } \right| - \frac { 1 } { x - 1 } + x + C$
D) $\ln \left| \frac { x - 1 } { x ^ { 2 } } \right| - \frac { 1 } { x - 1 } + x + C$

Question

Quizplus · Accepted Answer

Explanation:Factor the denominator: $x^3 - 2x^2 + x = x(x-1)^2$. Then use partial fractions to decompose the integrand:$$\frac { x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } + 6 x - 2 } { x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } + x } = \frac { A } { x } + \frac { B } { x - 1 } + \frac { C } { ( x - 1 ) ^ { 2 } }$$Multiply both sides by $x(x-1)^2$:$x^3 - 3x^2 + 6x - 2 = A(x-1)^2 + Bx(x-1) + C$Substitute $x=0$:$-2 = -A$$A=2$Substitute $x=1$:$0 = -B$$B=0$Substitute $x=2$:$6 = 4A + 2C$$C=1$So,$$\int \frac { x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } + 6 x - 2 } { x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } + x } d x = \int \left( \frac { 2 } { x } + \frac { 1 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } } \right) d x$$$= 2 \ln |x| - \frac { 1 } { x - 1 } + x + C$$= \ln \left| \frac { x - 1 } { x ^ { 2 } } \right| - \frac { 2 } { x - 1 } + x + C$

Find the Integral ∫x3−3x2+6x−2x3−2x2+xdx\int \frac { x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } + 6 x - 2 } { x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } + x } d x∫x3−2x2+xx3−3x2+6x−2​dx

Find the Integral $\int \frac { x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } + 6 x - 2 } { x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } + x } d x$