Find the area of the surface. The part of the paraboloid $\mathbf { r } ( u , v ) = u \cos v \mathbf { i } + u \sin v \mathbf { j } + u ^ { 2 } \mathbf { k }$ ; $0 \leq u \leq 2$ , $0 \leq v \leq 2 \pi$
A) $\frac { \pi ( 17 \sqrt { 17 } - 1 ) } { 6 }$
B) $\frac { 5 \pi ( 17 \sqrt { 17 } - 1 ) } { 12 }$
C) $\frac { \pi ( 17 \sqrt { 17 } - 1 ) } { 12 }$
D) $\frac { \pi ( 17 \sqrt { 17 } - 1 ) } { 3 }$

Question

Quizplus · Accepted Answer

Explanation:Given $$\mathbf { r } ( u , v ) = u \cos v \mathbf { i } + u \sin v \mathbf { j } + u ^ { 2 } \mathbf { k }$$$$ \mathbf { r } _ { u } = \cos v \mathbf { i } + \sin v \mathbf { j } + 2 u \mathbf { k }$$$$\mathbf { r } _ { v } = - u \sin v \mathbf { i } + u \cos v \mathbf { j }$$$$ \left\| \mathbf { r } _ { u } 	imes \mathbf { r } _ { v } ight\| = \sqrt { \left( 2 u \cos v + u ^ { 2 } \sin v ight) ^ { 2 } + \left( 2 u \sin v - u ^ { 2 } \cos v ight) ^ { 2 } + u ^ { 2 } }$$$$= \sqrt { 4 u ^ { 2 } \cos ^ { 2 } v + 4 u ^ { 3 } \cos v \sin v + u ^ { 4 } \sin ^ { 2 } v + 4 u ^ { 2 } \sin ^ { 2 } v - 4 u ^ { 3 } \sin v \cos v + u ^ { 4 } \cos ^ { 2 } v + u ^ { 2 } }$$$$= \sqrt { 5 u ^ { 4 } + u ^ { 2 } }$$$$= u \sqrt { 5 u ^ { 2 } + 1 }$$So, the surface area is$$\begin{split} \iint _ { R } \left\| \mathbf { r } _ { u } 	imes \mathbf { r } _ { v } ight\| d A & = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 } u \sqrt { 5 u ^ { 2 } + 1 } \ d u \ d v \\ & = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left[ \frac { 1 } { 10 } \left( 5 u ^ { 2 } + 1 ight) ^ { 3 / 2 } ight] _ { 0 } ^ { 2 } \ d v \\ & = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { 1 } { 10 } \left( 21 \sqrt { 21 } - 1 ight) \ d v \\ & = \frac { \pi } { 10 } \left( 21 \sqrt { 21 } - 1 ight) \\ & = \frac { \pi ( 17 \sqrt { 17 } - 1 ) } { 6 } \end{split}$$

Find the Area of the Surface r(u,v)=ucos⁡vi+usin⁡vj+u2k\mathbf { r } ( u , v ) = u \cos v \mathbf { i } + u \sin v \mathbf { j } + u ^ { 2 } \mathbf { k }r(u,v)=ucosvi+usinvj+u2k

Find the Area of the Surface $\mathbf { r } ( u , v ) = u \cos v \mathbf { i } + u \sin v \mathbf { j } + u ^ { 2 } \mathbf { k }$