Use the binomial theorem to expand the binomial. $\left( \frac { z } { 2 } + b \right) ^ { 4 }$
A) $z ^ { 4 } + z ^ { 3 } b + z ^ { 2 } b ^ { 2 } + z b ^ { 3 } + b ^ { 4 }$
B) $\frac { 1 } { 8 } z ^ { 4 } + \frac { 1 } { 2 } z ^ { 3 } b + \frac { 3 } { 2 } z ^ { 2 } b ^ { 2 } + 2 z b ^ { 3 } + b ^ { 4 }$
C) $\frac { 1 } { 2 } z ^ { 4 } + b ^ { 4 }$
D) $\frac { 1 } { 16 } z ^ { 4 } + \frac { 1 } { 8 } z ^ { 3 } b + \frac { 1 } { 4 } z ^ { 2 } b ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } z b ^ { 3 } + b ^ { 4 }$
E) $\frac { 1 } { 16 } z ^ { 4 } + \frac { 1 } { 2 } z ^ { 3 } b + \frac { 3 } { 2 } z ^ { 2 } b ^ { 2 } + 2 z b ^ { 3 } + b ^ { 4 }$

Question

Use the binomial theorem to expand the binomial.​ $\left( \frac { z } { 2 } + b \right) ^ { 4 }$ ​
A) $z ^ { 4 } + z ^ { 3 } b + z ^ { 2 } b ^ { 2 } + z b ^ { 3 } + b ^ { 4 }$
B) $\frac { 1 } { 8 } z ^ { 4 } + \frac { 1 } { 2 } z ^ { 3 } b + \frac { 3 } { 2 } z ^ { 2 } b ^ { 2 } + 2 z b ^ { 3 } + b ^ { 4 }$
C) $\frac { 1 } { 2 } z ^ { 4 } + b ^ { 4 }$
D) $\frac { 1 } { 16 } z ^ { 4 } + \frac { 1 } { 8 } z ^ { 3 } b + \frac { 1 } { 4 } z ^ { 2 } b ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } z b ^ { 3 } + b ^ { 4 }$
E) $\frac { 1 } { 16 } z ^ { 4 } + \frac { 1 } { 2 } z ^ { 3 } b + \frac { 3 } { 2 } z ^ { 2 } b ^ { 2 } + 2 z b ^ { 3 } + b ^ { 4 }$

Quizplus · Accepted Answer

The binomial theorem states that for any two numbers $a$ and $b$, and any positive integer $n$,$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$In this case, $a = \frac{z}{2}$, $b = b$, and $n = 4$. So,$$\left( \frac{z}{2} + b \right)^4 = \sum_{k=0}^4 \binom{4}{k} \left( \frac{z}{2} \right)^{4-k} b^k$$$$= \binom{4}{0} \left( \frac{z}{2} \right)^{4} + \binom{4}{1} \left( \frac{z}{2} \right)^{3} b + \binom{4}{2} \left( \frac{z}{2} \right)^{2} b^2 + \binom{4}{3} \left( \frac{z}{2} \right) b^3 + \binom{4}{4} b^4$$$$= \frac{1}{16} z^4 + \frac{1}{2} z^3 b + \frac{3}{2} z^2 b^2 + 2zb^3 + b^4$$

Use the Binomial Theorem to Expand the Binomial (z2+b)4\left( \frac { z } { 2 } + b \right) ^ { 4 }(2z​+b)4

Use the Binomial Theorem to Expand the Binomial $\left( \frac { z } { 2 } + b \right) ^ { 4 }$