Let $I = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left[ \int _ { 0 } ^ { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \sqrt { 1 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } d y \right] d x$ Then I in polar form is

A) $\int _ { \frac { \pi } { 2 } } ^ { \pi } \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } r \sqrt { 1 - r ^ { 2 } } d r \right] d \theta$
B) $\int _ { 0 } ^ { \pi } \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { 1 - r ^ { 2 } } d r \right] d \theta$
C) $\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { 1 - r ^ { 2 } } d r \right] d \theta$
D) $\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } r \sqrt { 1 - r ^ { 2 } } d r \right] d \theta$
E) $\int _ { 0 } ^ { \pi } \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } r \sqrt { 1 - r ^ { 2 } } d r \right] d \theta$

Question

Let $I = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left[ \int _ { 0 } ^ { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \sqrt { 1 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } d y \right] d x$ Then I in polar form is

A) $\int _ { \frac { \pi } { 2 } } ^ { \pi } \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } r \sqrt { 1 - r ^ { 2 } } d r \right] d \theta$
B) $\int _ { 0 } ^ { \pi } \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { 1 - r ^ { 2 } } d r \right] d \theta$
C) $\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { 1 - r ^ { 2 } } d r \right] d \theta$
D) $\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } r \sqrt { 1 - r ^ { 2 } } d r \right] d \theta$
E) $\int _ { 0 } ^ { \pi } \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } r \sqrt { 1 - r ^ { 2 } } d r \right] d \theta$

Quizplus · Accepted Answer

The given integral represents the volume under the surface $z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ and above the quarter circle in the first quadrant (since $0 \leq x \leq 1$ and $0 \leq y \leq \sqrt{1 - x^2}$). Converting to polar coordinates, $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, and $z = \sqrt{1 - r^2}$ where $r$ ranges from 0 to 1 and $\theta$ ranges from 0 to $\frac{\pi}{2}$ to cover the first quadrant. The Jacobian of the transformation from Cartesian to polar coordinates adds a factor of $r$, making the integrand $r\sqrt{1 - r^2}$.

Let I=∫01[∫01−x21−x2−y2dy]dxI = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left[ \int _ { 0 } ^ { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \sqrt { 1 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } d y \right] d xI=∫01​[∫01−x2​​1−x2−y2​dy]dx

Let $I = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left[ \int _ { 0 } ^ { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \sqrt { 1 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } d y \right] d x$