Let $f ( x , y ) = 2 x ^ { 3 } + x y ^ { 2 } + x z ^ { 2 }$ . Its gradient vector field is

A) $\nabla f ( x , y ) = - \left( 6 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) \mathbf { i } + 2 x y \mathbf { j } + 2 x z \mathbf { k }$
B) $\nabla f ( x , y ) = \left( 6 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) \mathbf { i } - 2 x y \mathbf { j } - 2 x z \mathbf { k }$
C) $\nabla f ( x , y ) = \left( 6 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) \mathbf { i } + 2 x y \mathbf { j } - 2 x z \mathbf { k }$
D) $\nabla f ( x , y ) = \left( 6 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) \mathbf { i } + 2 x y \mathbf { j } + 2 x z \mathbf { k }$
E) $\nabla f ( x , y ) = \left( 6 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) \mathbf { i } - 2 x y \mathbf { j } + 2 x z \mathbf { k }$

Question

Let $f ( x , y ) = 2 x ^ { 3 } + x y ^ { 2 } + x z ^ { 2 }$ . Its gradient vector field is

A) $\nabla f ( x , y ) = - \left( 6 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) \mathbf { i } + 2 x y \mathbf { j } + 2 x z \mathbf { k }$
B) $\nabla f ( x , y ) = \left( 6 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) \mathbf { i } - 2 x y \mathbf { j } - 2 x z \mathbf { k }$
C) $\nabla f ( x , y ) = \left( 6 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) \mathbf { i } + 2 x y \mathbf { j } - 2 x z \mathbf { k }$
D) $\nabla f ( x , y ) = \left( 6 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) \mathbf { i } + 2 x y \mathbf { j } + 2 x z \mathbf { k }$
E) $\nabla f ( x , y ) = \left( 6 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) \mathbf { i } - 2 x y \mathbf { j } + 2 x z \mathbf { k }$

Quizplus · Accepted Answer

The gradient vector field of $f(x, y, z)$ is found by taking the partial derivatives of $f$ with respect to each variable. The correct partial derivatives are $6x^2$ for $x$, $2xy$ for $y$, and $2xz$ for $z$, leading to the gradient vector $\left( 6x^2 + y^2 + z^2 \right) \mathbf{i} + 2xy \mathbf{j} + 2xz \mathbf{k}$.

Let f(x,y)=2x3+xy2+xz2f ( x , y ) = 2 x ^ { 3 } + x y ^ { 2 } + x z ^ { 2 }f(x,y)=2x3+xy2+xz2

Let $f ( x , y ) = 2 x ^ { 3 } + x y ^ { 2 } + x z ^ { 2 }$