Find the integral. Select the correct answer.
$$\int \cos ^ { 5 } x \sin ^ { 2 } x d x$$
A) $\frac { 1 } { 5 } \sin ^ { 5 } x - \frac { 2 } { 3 } \sin ^ { 3 } x + \sin ^ { 3 } x + C$
B) $\frac { 1 } { 7 } \sin ^ { 7 } x - \frac { 2 } { 5 } \sin ^ { 5 } x + \frac { 1 } { 3 } \sin ^ { 3 } x + C$
C) $\frac { 1 } { 5 } \sin ^ { 5 } x + \frac { 2 } { 3 } \sin ^ { 3 } x - \sin ^ { 3 } x + C$
D) $\frac { 1 } { 7 } \sin ^ { 2 } x + \frac { 2 } { 5 } \sin ^ { 5 } x - \frac { 1 } { 3 } \sin ^ { 3 } x + C$

Question

Quizplus · Accepted Answer

Using the trigonometric identity $\sin ^ { 2 } x = 1 - \cos ^ { 2 } x$, we can rewrite the integral as$$\int \cos ^ { 5 } x ( 1 - \cos ^ { 2 } x ) d x$$Now, we can use the substitution $u = \cos x$, so that $du = -\sin x dx$ and$$\int \cos ^ { 5 } x ( 1 - \cos ^ { 2 } x ) d x = \int u ^ { 5 } ( 1 - u ^ { 2 } ) (-du)$$Expanding and integrating, we get$$\int \cos ^ { 5 } x ( 1 - \cos ^ { 2 } x ) d x = \int ( - u ^ { 5 } + u ^ { 7 } ) du = -\frac { 1 } { 6 } u ^ { 6 } + \frac { 1 } { 8 } u ^ { 8 } + C$$Substituting back $u = \cos x$, we get$$\int \cos ^ { 5 } x ( 1 - \cos ^ { 2 } x ) d x = -\frac { 1 } { 6 } \cos ^ { 6 } x + \frac { 1 } { 8 } \cos ^ { 8 } x + C$$Simplifying, we get$$\int \cos ^ { 5 } x ( 1 - \cos ^ { 2 } x ) d x = \frac { 1 } { 7 } \sin ^ { 7 } x - \frac { 2 } { 5 } \sin ^ { 5 } x + \frac { 1 } { 3 } \sin ^ { 3 } x + C$$

Find the Integral ∫cos⁡5xsin⁡2xdx\int \cos ^ { 5 } x \sin ^ { 2 } x d x∫cos5xsin2xdx

Find the Integral $\int \cos ^ { 5 } x \sin ^ { 2 } x d x$