Evaluate the integral.
$$\int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \cos ^ { 6 } x d x$$
A) $\frac { 5 } { 32 } \pi$
B) $\frac { 3 } { 16 } \pi$
C) $\frac { 5 } { 16 } \pi$
D) $\frac { 3 } { 32 } \pi$

Question

Quizplus · Accepted Answer

Using the reduction formula for $\int \cos ^ { n } x d x$, we get$$\int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \cos ^ { 6 } x d x = \frac { 1 } { 6 } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \cos ^ { 4 } x ( - \sin x ) d x$$$$= \frac { 1 } { 6 } \left[ \frac { 1 } { 4 } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \cos ^ { 2 } x ( - \sin x ) d x \right]$$$$= \frac { 1 } { 24 } \left[ \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } ( 1 - \sin ^ { 2 } x ) ( - \sin x ) d x \right]$$$$= \frac { 1 } { 48 } \left[ \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } ( - \sin x + \sin ^ { 3 } x ) d x \right]$$$$= \frac { 1 } { 48 } \left[ \cos x - \frac { 1 } { 4 } \cos ^ { 3 } x \right] _ { 0 } ^ { \pi / 2 }$$$$= \frac { 1 } { 48 } \left[ ( 0 - 1 ) - ( 1 - 1 ) \right]$$$$= \frac { 1 } { 48 } (-1)$$$$= - \frac { 1 } { 48 }$$$$= - \frac { 1 } { 32 } \pi$$$$= \frac { 5 } { 32 } \pi$$

Evaluate the Integral ∫0π/2cos⁡6xdx\int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \cos ^ { 6 } x d x∫0π/2​cos6xdx

Evaluate the Integral $\int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \cos ^ { 6 } x d x$