Integrate the function.
-$$\int \frac { y ^ { 2 } } { \left( 49 - y ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } d y$$
A) $\frac { y } { \sqrt { 49 - y ^ { 2 } } } + C$
B) $\frac { 7 y } { \sqrt { 49 - y ^ { 2 } } } - \sin ^ { - 1 } y + C$
C) $\frac { y } { \sqrt { 49 - y ^ { 2 } } } - \sin ^ { - 1 } \left( \frac { y } { 7 } \right) + C$
D) $\sqrt { 49 - y ^ { 2 } } - \sin ^ { - 1 } \left( \frac { y } { 7 } \right) + C$

Question

Quizplus · Accepted Answer

Use substitution $y=7\sin	heta$, then $dy=7\cos	heta\ d	heta$ and $\sqrt{49-y^2}=7\cos	heta$. Substituting these in the integral, we get
\begin{align*}
\int \frac{y^2}{(49-y^2)^{3/2}}dy &= \int \frac{49\sin^2	heta\cdot 7\cos	heta}{(49\cos^2	heta)^{3/2}}\cdot 7\cos	heta\ d	heta\
&= 7^2\int \frac{\sin^2	heta}{7^3\cos^3	heta}\cdot 7\cos	heta\ d	heta\
&= \frac17 \int \frac{d(\cos	heta)}{\cos	heta}\
&= \frac17 \ln|\cos	heta| + C\
&= \frac y{\sqrt{49-y^2}} - \arcsin\left(\frac{y}{7}ight) + C \quad 	ext{(using } y=7\sin	heta 	ext{)}\
&= \boxed{	ext{C}}
\end{align*}

Integrate the Function ∫y2(49−y2)3/2dy\int \frac { y ^ { 2 } } { \left( 49 - y ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } d y∫(49−y2)3/2y2​dy

Integrate the Function $\int \frac { y ^ { 2 } } { \left( 49 - y ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } d y$