Use the binomial series to find the Maclaurin series for the function $f ( x ) = \frac { 1 } { \sqrt { 81 + x ^ { 2 } } }$
A) $\frac { 1 } { \sqrt { 81 + x ^ { 2 } } } = \frac { 1 } { 9 } + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots ( 2 n - 1 ) x ^ { n } } { 9 ^ { n } n ! }$
B)$\frac { 1 } { \sqrt { 81 + x ^ { 2 } } } = \frac { 1 } { 9 } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots ( 2 n - 1 ) x ^ { 2 n } } { 2 ^ { n } ( 2 n - 1 ) ! 9 ^ { 2 n + 1 } }$
C)$\frac { 1 } { \sqrt { 81 + x ^ { 2 } } } = \frac { 1 } { 9 } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots ( 2 n - 1 ) x ^ { 2 n } } { 2 ^ { n } n ! 9 ^ { 2 n + 1 } }$
D)$\frac { 1 } { \sqrt { 81 + x ^ { 2 } } } = \frac { 1 } { 9 } + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots ( 2 n - 1 ) x ^ { n } } { n ! }$
E)$\frac { 1 } { \sqrt { 81 + x ^ { 2 } } } = \frac { 1 } { 9 } + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots ( 2 n - 1 ) x ^ { 2 n } } { 2 ^ { n } 9 ^ { 2 n + 1 } }$

Question

Quizplus · Accepted Answer

The binomial series for $f ( x ) = \frac { 1 } { ( 1 + x ) ^ { \alpha } }$ is given by$$\frac { 1 } { ( 1 + x ) ^ { \alpha } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } \alpha ( \alpha + 1 ) \cdots ( \alpha + n - 1 ) x ^ { n } } { n ! }$$In this case, $\alpha = - \frac { 1 } { 2 }$ and $x^2 = 81 + x^2 - 81$, so$$\begin{split} \frac { 1 } { \sqrt { 81 + x ^ { 2 } } } & = \frac { 1 } { ( 1 + \frac { x ^ { 2 } } { 81 } ) ^ { 1 / 2 } } \\ & = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) \left( - \frac { 1 } { 2 } + 1 \right) \cdots \left( - \frac { 1 } { 2 } + n - 1 \right) \left( \frac { x ^ { 2 } } { 81 } \right) ^ { n } } { n ! } \\ & = \frac { 1 } { 9 } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots ( 2 n - 1 ) x ^ { 2 n } } { 2 ^ { n } n ! 9 ^ { 2 n + 1 } } \end{split}$$

Use the Binomial Series to Find the Maclaurin Series for the Function