Find the exact value under the given conditions.
-$\cos \left( \frac { 5 \pi } { 3 } + \alpha \right) \cos \left( \frac { 5 \pi } { 3 } - \alpha \right) - \sin \left( \frac { 5 \pi } { 3 } + \alpha \right) \sin \left( \frac { 5 \pi } { 3 } - \alpha \right)$
A) $- \frac { 1 } { 2 }$
B) $\frac { 3 } { 4 }$
C) $\frac { 1 } { 4 }$
D) $\frac { 1 } { 2 }$

Question

Quizplus · Accepted Answer

Using the sum and difference formulas for cosine and sine, we have:$\cos \left( \frac { 5 \pi } { 3 } + \alpha \right) \cos \left( \frac { 5 \pi } { 3 } - \alpha \right) - \sin \left( \frac { 5 \pi } { 3 } + \alpha \right) \sin \left( \frac { 5 \pi } { 3 } - \alpha \right)$$= \frac { 1 } { 2 } \left[ \cos \left( \frac { 5 \pi } { 3 } + \alpha - \frac { 5 \pi } { 3 } + \alpha \right) + \cos \left( \frac { 5 \pi } { 3 } + \alpha + \frac { 5 \pi } { 3 } - \alpha \right) \right] - \frac { 1 } { 2 } \left[ \sin \left( \frac { 5 \pi } { 3 } + \alpha - \frac { 5 \pi } { 3 } + \alpha \right) - \sin \left( \frac { 5 \pi } { 3 } + \alpha + \frac { 5 \pi } { 3 } - \alpha \right) \right]$$= \frac { 1 } { 2 } \left[ \cos 2\alpha + \cos \frac { 10 \pi } { 3 } \right] - \frac { 1 } { 2 } \left[ \sin 2\alpha - \sin \frac { 10 \pi } { 3 } \right]$$= \frac { 1 } { 2 } \left[ \cos 2\alpha - \frac { 1 } { 2 } + \sin 2\alpha - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \right]$$= \frac { 1 } { 2 } \left[ \cos 2\alpha + \sin 2\alpha - \frac { 1 + \sqrt { 3 } } { 2 } \right]$$= \frac { 1 } { 2 } \left[ \sqrt { 2 } \left( \cos \frac { \pi } { 4 } + \sin \frac { \pi } { 4 } \right) - \frac { 1 + \sqrt { 3 } } { 2 } \right]$$= \frac { 1 } { 2 } \left[ \sqrt { 2 } \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } - \frac { 1 + \sqrt { 3 } } { 2 } \right]$$= \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 + \sqrt { 3 } } { 2 } \right]$$= \frac { 1 } { 2 } \left[ - \frac { 1 + \sqrt { 3 } } { 2 } \right]$$= - \frac { 1 + \sqrt { 3 } } { 4 }$$= - \frac { 1 } { 2 }$

Find the Exact Value Under the Given Conditions A) −12- \frac { 1 } { 2 }−21​

Find the Exact Value Under the Given Conditions A) $- \frac { 1 } { 2 }$