Use a table of integrals to evaluate the integral.
$$\int \frac { \sqrt { 6 x + 5 } } { x ^ { 2 } } d x$$
A) $- \frac { \sqrt { 6 x + 5 } } { x } + \frac { 3 \sqrt { 5 } } { 5 } \ln \left| \frac { \sqrt { 6 x + 5 } - \sqrt { 5 } } { \sqrt { 6 x + 5 } + \sqrt { 5 } } \right| + C$
B) $- \frac { \sqrt { 6 x + 5 } } { x } + \frac { 6 \sqrt { 5 } } { 5 } \ln \left| \frac { \sqrt { 6 x + 5 } - \sqrt { 5 } } { \sqrt { 6 x + 5 } + \sqrt { 5 } } \right| + C$
C) $- \frac { 6 \sqrt { 5 } } { 5 } \ln \left| \frac { \sqrt { 6 x + 5 } - \sqrt { 5 } } { \sqrt { 6 x + 5 } + \sqrt { 5 } } \right| + C$
D)
$$- \frac { 3 \sqrt { 5 } } { 5 } \ln \left| \frac { \sqrt { 6 x + 5 } - \sqrt { 5 } } { \sqrt { 6 x + 5 } + \sqrt { 5 } } \right| + C$$

Question

Quizplus · Accepted Answer

Explanation:Let $ u = \sqrt { 6 x + 5 } $. Then $ du = \frac { 3 } { \sqrt { 6 x + 5 } } dx $ and $ x ^ { 2 } = \frac { 6 x + 5 - 5 } { 6 } = \frac { 6 x } { 6 } = x $. So the integral becomes$$\int \frac { \sqrt { 6 x + 5 } } { x ^ { 2 } } d x = \int \frac { u } { x } \frac { 1 } { \frac { 3 } { u } } d u = \int \frac { u ^ { 2 } } { 3 } d u = \frac { 1 } { 3 } \frac { u ^ { 3 } } { 3 } + C = \frac { 1 } { 9 } u ^ { 3 } + C$$Substituting back for $ u $, we get$$\int \frac { \sqrt { 6 x + 5 } } { x ^ { 2 } } d x = \frac { 1 } { 9 } ( 6 x + 5 ) ^ { 3 / 2 } + C$$Simplifying, we get$$\int \frac { \sqrt { 6 x + 5 } } { x ^ { 2 } } d x = \frac { 1 } { 9 } ( 6 x + 5 ) ^ { 3 / 2 } + C = \frac { 1 } { 9 } ( 6 x ) ^ { 3 / 2 } ( 1 + \frac { 5 } { 6 x } ) ^ { 3 / 2 } + C$$Using the properties of logarithms, we can rewrite this as$$\int \frac { \sqrt { 6 x + 5 } } { x ^ { 2 } } d x = \frac { 1 } { 9 } ( 6 x ) ^ { 3 / 2 } \left[ 1 + \frac { 3 } { 2 } \ln \left| 1 + \frac { 5 } { 6 x } \right| \right] + C$$Simplifying further, we get$$\int \frac { \sqrt { 6 x + 5 } } { x ^ { 2 } } d x = \frac { 1 } { 9 } ( 6 x ) ^ { 3 / 2 } + \frac { 1 } { 6 } ( 6 x ) ^ { 3 / 2 } \ln \left| 1 + \frac { 5 } { 6 x } \right| + C$$Finally, we get$$\int \frac { \sqrt { 6 x + 5 } } { x ^ { 2 } } d x = \frac { 1 } { 3 } ( 6 x ) ^ { 3 / 2 } \left[ 1 + \frac { 1 } { 2 } \ln \left| 1 + \frac { 5 } { 6 x } \right| \right] + C$$

Use a Table of Integrals to Evaluate the Integral ∫6x+5x2dx\int \frac { \sqrt { 6 x + 5 } } { x ^ { 2 } } d x∫x26x+5​​dx

Use a Table of Integrals to Evaluate the Integral $\int \frac { \sqrt { 6 x + 5 } } { x ^ { 2 } } d x$