Solve the problem.
-Let D be the smaller cap cut from a solid ball of radius 6 units by a plane 2 units from the center of the sphere. Set up the triple integral for the volume of D in rectangular coordinates.
A) $\int _ { - \sqrt { 32 } } ^ { \sqrt { 32 } } \int _ { - \sqrt { 32 - x ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { 32 - x ^ { 2 } } } \int _ { 2 } ^ { \sqrt { 36 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } d z d y d x$
B) $\int _ { - \sqrt { 32 } } ^ { \sqrt { 32 } } \int _ { - \sqrt { 32 - x ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { 32 - x ^ { 2 } } } \int _ { 6 } ^ { \sqrt { 4 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } d z d y d x$
C) $\int _ { - \sqrt { 40 } } ^ { \sqrt { 40 } } \int _ { - \sqrt { 32 - x ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { 32 - x ^ { 2 } } } \int _ { 2 } ^ { \sqrt { 36 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } d z d y d x$
D) $\int _ { - \sqrt { 40 } } ^ { \sqrt { 40 } } \int _ { - \sqrt { 32 - x ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { 32 - x ^ { 2 } } } \int _ { 6 } ^ { \sqrt { 4 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } d z d y d x$

Question

Solve the problem.
-Let D be the smaller cap cut from a solid ball of radius 6 units by a plane 2 units from the center of the sphere. Set up the triple integral for the volume of D in rectangular coordinates. 
A) $\int _ { - \sqrt { 32 } } ^ { \sqrt { 32 } } \int _ { - \sqrt { 32 - x ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { 32 - x ^ { 2 } } } \int _ { 2 } ^ { \sqrt { 36 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } d z d y d x$
B) $\int _ { - \sqrt { 32 } } ^ { \sqrt { 32 } } \int _ { - \sqrt { 32 - x ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { 32 - x ^ { 2 } } } \int _ { 6 } ^ { \sqrt { 4 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } d z d y d x$
C) $\int _ { - \sqrt { 40 } } ^ { \sqrt { 40 } } \int _ { - \sqrt { 32 - x ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { 32 - x ^ { 2 } } } \int _ { 2 } ^ { \sqrt { 36 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } d z d y d x$
D) $\int _ { - \sqrt { 40 } } ^ { \sqrt { 40 } } \int _ { - \sqrt { 32 - x ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { 32 - x ^ { 2 } } } \int _ { 6 } ^ { \sqrt { 4 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } d z d y d x$

Quizplus · Accepted Answer

The correct integral setup for the volume of the smaller cap D involves integrating over z from the plane at z = 2 to the top of the sphere, which is described by the equation $z = \sqrt{36 - x^2 - y^2}$. The limits for x and y are determined by the intersection of the plane and the sphere, which forms a circle of radius $\sqrt{32}$ in the xy-plane.

Solve the Problem B) C) D)