Evaluate the integral.
-$$\int _ { 5 } ^ { 8 } \int _ { 4 \pi } ^ { 5 \pi } \int _ { 0 } ^ { \theta } r z d z d \theta d r$$
A) $\frac { 793 } { 4 } \pi ^ { 3 }$
B) $\frac { 10,187 } { 12 } \pi ^ { 3 }$
C) $\frac { 793 } { 5 } \pi ^ { 3 }$
D) $\frac { 6283 } { 12 } \pi ^ { 3 }$

Question

Quizplus · Accepted Answer

Explanation:Evaluate the integral by integrating with respect to $z$, then $\theta$, and finally $r$.$$\int _ { 5 } ^ { 8 } \int _ { 4 \pi } ^ { 5 \pi } \int _ { 0 } ^ { \theta } r z d z d \theta d r = \int _ { 5 } ^ { 8 } \int _ { 4 \pi } ^ { 5 \pi } \left[ \frac { 1 } { 2 } r z ^ { 2 } \right] _ { 0 } ^ { \theta } d \theta d r = \int _ { 5 } ^ { 8 } \int _ { 4 \pi } ^ { 5 \pi } \frac { 1 } { 2 } r \theta ^ { 2 } d \theta d r$$$$= \int _ { 5 } ^ { 8 } \left[ \frac { 1 } { 2 } r \left( \frac { \theta ^ { 3 } } { 3 } \right) \right] _ { 4 \pi } ^ { 5 \pi } d r = \int _ { 5 } ^ { 8 } \frac { 1 } { 6 } r \left( 125 \pi ^ { 3 } - 64 \pi ^ { 3 } \right) d r$$$$= \int _ { 5 } ^ { 8 } \frac { 1 } { 6 } r \left( 61 \pi ^ { 3 } \right) d r = \frac { 61 \pi ^ { 3 } } { 6 } \int _ { 5 } ^ { 8 } r d r = \frac { 61 \pi ^ { 3 } } { 6 } \left[ \frac { r ^ { 2 } } { 2 } \right] _ { 5 } ^ { 8 }$$$$= \frac { 61 \pi ^ { 3 } } { 12 } \left( 8 ^ { 2 } - 5 ^ { 2 } \right) = \frac { 61 \pi ^ { 3 } } { 12 } \left( 64 - 25 \right) = \frac { 61 \pi ^ { 3 } } { 12 } ( 39 ) = \frac { 793 } { 4 } \pi ^ { 3 }$$

Evaluate the Integral ∫58∫4π5π∫0θrzdzdθdr\int _ { 5 } ^ { 8 } \int _ { 4 \pi } ^ { 5 \pi } \int _ { 0 } ^ { \theta } r z d z d \theta d r∫58​∫4π5π​∫0θ​rzdzdθdr

Evaluate the Integral $\int _ { 5 } ^ { 8 } \int _ { 4 \pi } ^ { 5 \pi } \int _ { 0 } ^ { \theta } r z d z d \theta d r$