Evaluate the cylindrical coordinate integral.
-$$\int _ { 5 } ^ { 7 } \int _ { \theta } ^ { 2 \theta } \int _ { 0 } ^ { r } \frac { 2 } { r ^ { 2 } } d z r d r d \theta$$
A) 24
B) 12
C) 8
D) 16

Question

Quizplus · Accepted Answer

Explanation:Evaluate the integral in the order $dz, dr, d\theta$.$$\begin{split} \int _ { 5 } ^ { 7 } \int _ { \theta } ^ { 2 \theta } \int _ { 0 } ^ { r } \frac { 2 } { r ^ { 2 } } d z r d r d \theta & = \int _ { 5 } ^ { 7 } \int _ { \theta } ^ { 2 \theta } \left[ \frac { 2 z } { r ^ { 2 } } \right] _ { 0 } ^ { r } r d r d \theta \\ & = \int _ { 5 } ^ { 7 } \int _ { \theta } ^ { 2 \theta } \frac { 2 } { r } r d r d \theta \\ & = \int _ { 5 } ^ { 7 } \int _ { \theta } ^ { 2 \theta } 2 d r d \theta \\ & = \int _ { 5 } ^ { 7 } \left[ 2 r \right] _ { \theta } ^ { 2 \theta } d \theta \\ & = \int _ { 5 } ^ { 7 } 2 ( 2 \theta - \theta ) d \theta \\ & = \int _ { 5 } ^ { 7 } 2 \theta d \theta \\ & = \left[ \theta ^ { 2 } \right] _ { 5 } ^ { 7 } \\ & = 7 ^ { 2 } - 5 ^ { 2 } \\ & = 24 \end{split}$$

Evaluate the Cylindrical Coordinate Integral ∫57∫θ2θ∫0r2r2dzrdrdθ\int _ { 5 } ^ { 7 } \int _ { \theta } ^ { 2 \theta } \int _ { 0 } ^ { r } \frac { 2 } { r ^ { 2 } } d z r d r d \theta∫57​∫θ2θ​∫0r​r22​dzrdrdθ

Evaluate the Cylindrical Coordinate Integral $\int _ { 5 } ^ { 7 } \int _ { \theta } ^ { 2 \theta } \int _ { 0 } ^ { r } \frac { 2 } { r ^ { 2 } } d z r d r d \theta$