Algebraically evaluate the limit (if it exists)by the appropriate technique(s).Round your answer to four decimal places. $\lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { \sqrt { x + 2 } - \sqrt { 2 } } { x }$
A) $\lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { \sqrt { x + 2 } - \sqrt { 2 } } { x } = \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } \approx 0.3536$
B) $\lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { \sqrt { x + 2 } - \sqrt { 2 } } { x } = \frac { 2 \sqrt { 4 } } { 4 } \approx 1$
C) $\lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { \sqrt { x + 2 } - \sqrt { 2 } } { x } = - \frac { 2 } { 4 } \approx - 0.5$
D) $\lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { \sqrt { x + 2 } - \sqrt { 2 } } { x } = \frac { 2 } { 4 } \approx 0.5$
E) $\lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { \sqrt { x + 2 } - \sqrt { 2 } } { x } = \frac { 4 \sqrt { 2 } } { 2 } \approx 2.8284$

Question

Algebraically evaluate the limit (if it exists)by the appropriate technique(s).Round your answer to four decimal places.  $\lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { \sqrt { x + 2 } - \sqrt { 2 } } { x }$
A) $\lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { \sqrt { x + 2 } - \sqrt { 2 } } { x } = \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } \approx 0.3536$
B) $\lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { \sqrt { x + 2 } - \sqrt { 2 } } { x } = \frac { 2 \sqrt { 4 } } { 4 } \approx 1$
C) $\lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { \sqrt { x + 2 } - \sqrt { 2 } } { x } = - \frac { 2 } { 4 } \approx - 0.5$
D) $\lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { \sqrt { x + 2 } - \sqrt { 2 } } { x } = \frac { 2 } { 4 } \approx 0.5$
E) $\lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { \sqrt { x + 2 } - \sqrt { 2 } } { x } = \frac { 4 \sqrt { 2 } } { 2 } \approx 2.8284$

Quizplus · Accepted Answer

To solve this limit, we can multiply the numerator and the denominator by the conjugate of the numerator, $\sqrt{x + 2} + \sqrt{2}$, to rationalize the numerator. This gives:$$\lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { (\sqrt { x + 2 } - \sqrt { 2 }) (\sqrt { x + 2 } + \sqrt { 2 }) } { x (\sqrt { x + 2 } + \sqrt { 2 }) } = \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { x + 2 - 2 } { x (\sqrt { x + 2 } + \sqrt { 2 }) } = \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { x } { x (\sqrt { x + 2 } + \sqrt { 2 }) }$$Simplifying further:$$\lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { 1 } { \sqrt { x + 2 } + \sqrt { 2 } } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } = \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } \approx 0.3536$$

Algebraically Evaluate the Limit (If It Exists)by the Appropriate Technique(s) lim⁡x→0−x+2−2x\lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { \sqrt { x + 2 } - \sqrt { 2 } } { x }limx→0−​xx+2​−2​​

Algebraically Evaluate the Limit (If It Exists)by the Appropriate Technique(s) $\lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { \sqrt { x + 2 } - \sqrt { 2 } } { x }$