Deck 12: Vector Functions

Question 1

The domain of the vector function $\mathbf { v } ( t ) = e ^ { t } \mathbf { i } - \sqrt { 1 - t ^ { 2 } } \mathbf { j } + 8 \mathbf { k }$ is

A) $[ - 1,1 )$
B) $( - 1,1 )$
C) $[ - 1,1 ]$
D) $( - 1,1 ]$
E) $( - \infty , \infty )$

Answer 1

$[ - 1,1 ]$

Question 2

The domain of the vector function $\mathbf { v } ( t ) = 5 t ^ { 2 } \mathbf { i } - \ln ( 3 t - 4 ) \mathbf { j } + \sin t \mathbf { k }$ is

A) $\left( - \frac { 4 } { 3 } , \infty \right)$
B) $\left( \frac { 4 } { 3 } , \infty \right)$
C) $\left( - \frac { 4 } { 3 } , \frac { 4 } { 3 } \right)$
D) $\left( - \infty , \frac { 4 } { 3 } \right)$
E) $( - \infty , \infty )$

Answer 2

$\left( \frac { 4 } { 3 } , \infty \right)$

Question 3

The domain of the vector function $\mathbf { v } ( t ) = \frac { 3 } { \sqrt { t ^ { 2 } - 4 } } \mathbf { i } - \sin ( 2 t ) \mathbf { j } + \frac { 1 } { t } \mathbf { k }$ is

A) $( - \infty , - 2 )$
B) $( 2 , \infty )$
C) $( - 2,2 )$
D) $( - \infty , - 2 ) \cup ( 2 , \infty )$
E) $( - \infty , \infty )$

Answer 3

$( - \infty , - 2 ) \cup ( 2 , \infty )$

Question 4

The domain of the vector function $\mathbf { v } ( t ) = 2 ^ { t } \mathbf { i } - 5 t ^ { 2 } \mathbf { j } + \log _ { 2 } ( t - 4 ) \mathbf { k }$ is

A) $( 4 , \infty )$
B) $( - 4 , \infty )$
C) $( - \infty , - 4 )$
D) $( - \infty , - 4 ) \cup ( 4 , \infty )$
E) $( - 4,4 )$

Question 5

Let $\mathbf { r } ( t ) = \cos ( 2 t - 1 ) \mathbf { i } - \sqrt { t ^ { 2 } - 1 } \mathbf { j } + \frac { 1 } { 1 + t } \mathbf { k } \text {. Then }$ is

A) $2 \sin ( 2 t - 1 ) \mathbf { i } + \frac { t } { \sqrt { t ^ { 2 } - 1 } } \mathbf { j } - \frac { 1 } { ( 1 + t ) ^ { 2 } } \mathbf { k }$
B) $- 2 \sin ( 2 t - 1 ) \mathbf { i } + \frac { t } { \sqrt { t ^ { 2 } - 1 } } \mathbf { j } + \frac { 1 } { ( 1 + t ) ^ { 2 } } \mathbf { k }$
C) $- 2 \sin ( 2 t - 1 ) \mathbf { i } + \frac { t } { \sqrt { t ^ { 2 } - 1 } } \mathbf { j } - \frac { 1 } { ( 1 + t ) ^ { 2 } } \mathbf { k }$
D) $- 2 \sin ( 2 t - 1 ) \mathbf { i } - \frac { t } { \sqrt { t ^ { 2 } - 1 } } \mathbf { j } - \frac { 1 } { ( 1 + t ) ^ { 2 } } \mathbf { k }$
E) $2 \sin ( 2 t - 1 ) \mathbf { i } - \frac { t } { \sqrt { t ^ { 2 } - 1 } } \mathbf { j } - \frac { 1 } { ( 1 + t ) ^ { 2 } } \mathbf { k }$

Question 6

Let $\mathbf { r } ( t ) = e ^ { \cos t } \mathbf { i } + \tan t \mathbf { j } + \cos ( 5 - t ) \mathbf { k }$ Then $\mathbf { r } ^ { \prime } ( t )$ is

A) $\sin t e ^ { \cos t } \mathbf { i } + \sec ^ { 2 } t \mathbf { j } + \sin ( 5 - t ) \mathbf { k }$
B) $- \sin t e ^ { \cos t } \mathbf { i } + \sec ^ { 2 } t \mathbf { j } + \sin ( 5 - t ) \mathbf { k }$
C) $- \sin t e ^ { \cos t } \mathbf { i } - \sec ^ { 2 } t \mathbf { j } + \sin ( 5 - t ) \mathbf { k }$
D) $\sin t e ^ { \cos t } \mathbf { i } - \sec ^ { 2 } t \mathbf { j } + \sin ( 5 - t ) \mathbf { k }$
E) $\sin t e ^ { \cos t } \mathbf { i } + \sec ^ { 2 } t \mathbf { j } - \sin ( 5 - t ) \mathbf { k }$

Question 7

Let $\mathbf { r } ( t ) = - \sin t \mathbf { i } + \cos t \mathbf { j } - e ^ { - t } \mathbf { k }$ Then $\mathbf { r } ^ { \prime } ( t )$ is

A) $- \cos t \mathbf { i } + \sin t \mathbf { j } + e ^ { - t } \mathbf { k }$
B) $- \cos t \mathbf { i } - \sin t \mathbf { j } - e ^ { - t } \mathbf { k }$
C) $\cos t \mathbf { i } - \sin t \mathbf { j } + e ^ { - t } \mathbf { k }$
D) $- \cos t \mathbf { i } - \sin t \mathbf { j } + e ^ { - t } \mathbf { k }$
E) $\cos t \mathbf { i } - \sin t \mathbf { j } - e ^ { - t } \mathbf { k }$

Question 8

Let $\mathbf { r } ( t ) = e ^ { \sin t } \mathbf { i } + e ^ { \cos t } \mathbf { j } - \sec t \mathbf { k }$ Then $\mathbf { r } ^ { \prime } ( t )$ is

A) $\cos t e ^ { \sin t } \mathbf { i } - \sin t e ^ { \cos t } \mathbf { j } - \sec t \tan t \mathbf { k }$
B) $\cos t e ^ { \sin t } \mathbf { i } - \sin t e ^ { \cos t } \mathbf { j } + \sec t \tan t \mathbf { k }$
C) $\cos t e ^ { \sin t } \mathbf { i } + \sin t e ^ { \operatorname { cost } } \mathbf { j } - \sec t \tan t \mathbf { k }$
D) $\cos t e ^ { \sin t } \mathbf { i } + \sin t e ^ { \operatorname { cost } t } \mathbf { j } + \sec t \tan t \mathbf { k }$
E) $- \cos t e ^ { \sin t } \mathbf { i } - \sin t e ^ { \cos t } \mathbf { j } - \sec t \tan t \mathbf { k }$

Question 9

Let $\mathbf { r } ( t ) = \cos ( 2 t + 1 ) \mathbf { i } + \sqrt { t ^ { 2 } + 1 } \mathbf { j } + \frac { t ^ { 2 } } { 2 } \mathbf { k }$ Then $\mathbf { r } ^ { \prime \prime } ( t )$ is

A) $4 \cos ( 2 t + 1 ) \mathbf { i } + \frac { 1 } { \left( \sqrt { t ^ { 2 } + 1 } \right) ^ { 3 } } \mathbf { j } + \mathbf { k }$
B) $4 \cos ( 2 t + 1 ) \mathbf { i } - \frac { 1 } { \left( \sqrt { t ^ { 2 } + 1 } \right) ^ { 3 } } \mathbf { j } + \mathbf { k }$
C) $- 4 \cos ( 2 t + 1 ) \mathbf { i } + \frac { 1 } { \left( \sqrt { t ^ { 2 } + 1 } \right) ^ { 3 } } \mathbf { j } + \mathbf { k }$
D) $- 4 \cos ( 2 t + 1 ) \mathbf { i } - \frac { 1 } { \left( \sqrt { t ^ { 2 } + 1 } \right) ^ { 3 } } \mathbf { j } + \mathbf { k }$
E) $- 4 \cos ( 2 t + 1 ) \mathbf { i } + \frac { 1 } { \left( \sqrt { t ^ { 2 } + 1 } \right) ^ { 3 } } \mathbf { j } - \mathbf { k }$

Question 10

Let $\mathbf { r } ( t ) = e ^ { \sin t } \mathbf { i } + \cos t \mathbf { j } + \ln ( 5 - t ) \mathbf { k }$ Then $\mathbf { r } ^ { \prime \prime } ( t )$ is

A) $e ^ { \sin t } \left( \cos ^ { 2 } t - \sin t \right) \mathbf { i } + \cos t \mathbf { j } - \frac { 1 } { ( t - 5 ) ^ { 2 } } \mathbf { k }$
B) $e ^ { \operatorname { tin } t } \left( \cos ^ { 2 } - \sin t \right) \mathbf { i } - \cos t \mathbf { j } + \frac { 1 } { ( t - 5 ) ^ { 2 } } \mathbf { k }$
C) $e ^ { \sin t } \left( \cos ^ { 2 } t - \sin t \right) \mathbf { i } + \cos t \mathbf { j } + \frac { 1 } { ( t - 5 ) ^ { 2 } } \mathbf { k }$
D) $e ^ { \sin t } \left( \cos ^ { 2 } t - \sin t \right) \mathbf { i } - \cos t \mathbf { j } - \frac { 1 } { ( t - 5 ) ^ { 2 } } \mathbf { k }$
E) $- e ^ { \sin t } \left( \cos ^ { 2 } t - \sin t \right) \mathbf { i } - \cos t \mathbf { j } + \frac { 1 } { ( t - 5 ) ^ { 2 } } \mathbf { k }$

Question 11

Let $\mathbf { r } ( t ) = - \cos t \mathbf { i } + \sin t \mathbf { j } - e ^ { - t } \mathbf { k }$ Then $\mathbf { r } ^ { \prime \prime } ( t )$ is

A) $- \cos t \mathbf { i } - \sin t \mathbf { j } + e ^ { - t } \mathbf { k }$
B) $\cos t \mathbf { i } - \sin t \mathbf { j } + e ^ { - t } \mathbf { k }$
C) $\cos t \mathbf { i } + \sin t \mathbf { j } + e ^ { - t } \mathbf { k }$
D) $- \cos t \mathbf { i } - \sin t \mathbf { j } - e ^ { - t } \mathbf { k }$
E) $\cos t \mathbf { i } - \sin t \mathbf { j } - e ^ { - t } \mathbf { k }$

Question 12

Let $\mathbf { r } ( t ) = e ^ { \sin t } \mathbf { i } - e ^ { \cos t } \mathbf { j } + \ln t \mathbf { k }$ Then $\mathbf { r } ^ { \prime \prime } ( t )$ is

A) $e ^ { \sin t } \left( \cos ^ { 2 } t - \sin t \right) \mathbf { i } + e ^ { \cos t } \left( \cos t - \sin ^ { 2 } t \right) \mathbf { j } - \frac { 1 } { t ^ { 2 } } \mathbf { k }$
B) $e ^ { \sin t } \left( \cos ^ { 2 } t + \sin t \right) \mathbf { i } - e ^ { \cos t } \left( \cos t - \sin ^ { 2 } t \right) \mathbf { j } - \frac { 1 } { t ^ { 2 } } \mathbf { k }$
C) $e ^ { \sin t } \left( \cos ^ { 2 } t - \sin t \right) \mathbf { i } - e ^ { \cos t } \left( \cos t + \sin ^ { 2 } t \right) \mathbf { j } - \frac { 1 } { t ^ { 2 } } \mathbf { k }$
D) $e ^ { \sin t } \left( \cos ^ { 2 } t + \sin t \right) \mathbf { i } - e ^ { \cos t } \left( \cos t + \sin ^ { 2 } t \right) \mathbf { j } - \frac { 1 } { t ^ { 2 } } \mathbf { k }$
E) $e ^ { \sin t } \left( \cos ^ { 2 } t + \sin t \right) \mathbf { i } + e ^ { \cos t } \left( \cos t + \sin ^ { 2 } t \right) \mathbf { j } - \frac { 1 } { t ^ { 2 } } \mathbf { k }$

Question 13

Let $\mathbf { v } ( t ) = e ^ { 3 t } \mathbf { i } + e ^ { - 3 t } \mathbf { j } + t \mathbf { k }$ and $\mathbf { w } ( t ) = e ^ { - 2 t } \mathbf { i } + e ^ { 2 t } \mathbf { j } - t \mathbf { k }$ Then $\frac { d } { d t } ( \mathbf { v } ( t ) \bullet \mathbf { w } ( t ) )$ is

A) $e ^ { t } - e ^ { - t } + 2 t$
B) $e ^ { t } + e ^ { - t } - 2 t$
C) $e ^ { t } - e ^ { - t } - 2 t$
D) $e ^ { t } + e ^ { - t } + 2 t$
E) $- e ^ { t } - e ^ { - t } + 2 t$

Question 14

Let $\mathbf { v } ( t ) = \sin t \mathbf { i } + \cos t \mathbf { j } + t \mathbf { k }$ and $\mathbf { w } ( t ) = \sin t \mathbf { i } + \cos t \mathbf { j } + t ^ { 3 } \mathbf { k }$ Then $\frac { d } { d t } ( \mathbf { v } ( t ) \bullet \mathbf { w } ( t ) )$ is

A) $4 t ^ { 3 }$
B) $4 t ^ { 5 }$
C) $- 4 t ^ { 3 }$
D) $- 3 t ^ { 3 }$
E) $3 t ^ { 3 }$

Question 15

Let $\mathbf { v } ( t ) = \sin t \mathbf { i } - \cos t \mathbf { j } + 3 t ^ { 2 } \mathbf { k }$ and $\mathbf { w } ( t ) = \cos t \mathbf { i } + \sin t \mathbf { j } + t ^ { 3 } \mathbf { k }$ Then $\frac { d } { d t } ( \mathbf { v } ( t ) \cdot \mathbf { w } ( t ) )$ is

A) $4 t ^ { 3 }$
B) $- 5 t ^ { 4 }$
C) $15 t ^ { 4 }$
D) $5 t ^ { 4 }$
E) $- 15 t ^ { 4 }$

Question 16

Let $\mathbf { v } ( t ) = \sin t \mathbf { i } - 2 \cos t \mathbf { j } + t ^ { 2 } \mathbf { k }$ and $\mathbf { w } ( t ) = 3 \cos t \mathbf { i } + \sin t \mathbf { j } - t ^ { 2 } \mathbf { k }$ Then $\frac { d } { d t } ( \mathbf { v } ( t ) \bullet \mathbf { w } ( t ) )$ is

A) $\cos ( 2 t ) + 4 t ^ { 3 }$
B) $\cos ( 2 t ) - 4 t ^ { 3 }$
C) $- \cos ( 2 t ) - 4 t ^ { 3 }$
D) $- \cos ( 2 t ) + 4 t ^ { 3 }$
E) $2 \cos ( 2 t ) - 4 t ^ { 3 }$

Question 17

Let $\mathbf { v } ( t ) = t ^ { 2 } \mathbf { i } - \mathbf { j } + 3 t \mathbf { k }$ and $\mathbf { w } ( t ) = 2 t \mathbf { i } + 3 \mathbf { j } - t \mathbf { k }$ Then $\frac { d } { d t } ( \mathbf { v } ( t ) \times \mathbf { w } ( t ) )$ is

A) $- 8 \mathbf { i } - \left( 3 t ^ { 2 } + 12 t \right) \mathbf { j } + ( 6 t + 2 ) \mathbf { k }$
B) $8 \mathbf { i } + \left( 3 t ^ { 2 } + 12 t \right) \mathbf { j } - ( 6 t + 2 ) \mathbf { k }$
C) $8 \mathbf { i } + \left( 3 t ^ { 2 } + 12 t \right) \mathbf { j } + ( 6 t + 2 ) \mathbf { k }$
D) $- 8 \mathbf { i } + \left( 3 t ^ { 2 } + 12 t \right) \mathbf { j } + ( 6 t + 2 ) \mathbf { k }$
E) $- 8 \mathbf { i } + \left( 3 t ^ { 2 } + 12 t \right) \mathbf { j } - ( 6 t + 2 ) \mathbf { k }$

Question 18

Let $\mathbf { v } ( t ) = 2 \mathbf { i } - ( 3 t + 1 ) \mathbf { j } + 4 t \mathbf { k }$ and $\mathbf { w } ( t ) = 4 t \mathbf { i } + 5 \mathbf { j } - t ^ { 2 } \mathbf { k }$ Then $\frac { d } { d t } ( \mathbf { v } ( t ) \times \mathbf { w } ( t ) )$ is

A) $\left( 9 t ^ { 2 } - 2 t - 20 \right) \mathbf { i } + 36 t \mathbf { j } + ( 4 + 24 t ) \mathbf { k }$
B) $\left( 9 t ^ { 2 } + 2 t - 20 \right) \mathbf { i } - 36 t \mathbf { j } - ( 4 + 24 t ) \mathbf { k }$
C) $\left( 9 t ^ { 2 } + 2 t - 20 \right) \mathbf { i } + 36 t \mathbf { j } + ( 4 + 24 t ) \mathbf { k }$
D) $\left( 9 t ^ { 2 } + 2 t - 20 \right) \mathbf { i } + 36 t \mathbf { j } - ( 4 + 24 t ) \mathbf { k }$
E) $\left( 9 t ^ { 2 } + 2 t - 20 \right) \mathbf { i } - 36 t \mathbf { j } + ( 4 + 24 t ) \mathbf { k }$

Question 19

Let $\mathbf { v } ( t ) = 5 t \mathbf { i } - 2 t ^ { 2 } \mathbf { j } - \mathbf { k }$ and $\mathbf { w } ( t ) = - 4 t \mathbf { i } + t ^ { 2 } \mathbf { j } - 3 \mathbf { k }$ Then $\frac { d } { d t } ( \mathbf { v } ( t ) \times \mathbf { w } ( t ) )$ is

A) $- 14 t \mathbf { i } + 19 \mathbf { j } - 9 t ^ { 2 } \mathbf { k }$
B) $14 t \mathbf { i } - 19 \mathbf { j } + 9 t ^ { 2 } \mathbf { k }$
C) $14 t \mathbf { i } + 19 \mathbf { j } + 9 t ^ { 2 } \mathbf { k }$
D) $14 t \mathbf { i } - 19 \mathbf { j } - 9 t ^ { 2 } \mathbf { k }$
E) $14 t \mathbf { i } + 19 \mathbf { j } - 9 t ^ { 2 } \mathbf { k }$

Question 20

Let $\mathbf { v } ( t ) = 2 \mathbf { i } - 3 t \mathbf { j } + t ^ { 2 } \mathbf { k }$ and $\mathbf { w } ( t ) = - \mathbf { i } + 3 t \mathbf { j } + 5 t ^ { 2 } \mathbf { k }$ Then $\frac { d } { d t } ( \mathbf { v } ( t ) \times \mathbf { w } ( t ) )$ is

A) $- 54 t ^ { 2 } \mathbf { i } + 22 t \mathbf { j } + 3 \mathbf { k }$
B) $- 54 t ^ { 2 } \mathbf { i } - 22 t \mathbf { j } + 3 \mathbf { k }$
C) $- 54 t ^ { 2 } \mathbf { i } - 22 t \mathbf { j } - 3 \mathbf { k }$
D) $- 54 t ^ { 2 } \mathbf { i } + 22 t \mathbf { j } - 3 \mathbf { k }$
E) $54 t ^ { 2 } \mathbf { i } - 22 t \mathbf { j } + 3 \mathbf { k }$

Question 21

Let $\mathbf { r } ( t ) = \cos ( 2 t ) \mathbf { i } - \sin ( 2 t ) \mathbf { j } + 5 t \mathbf { k }$ Then $\mathbf { r } ^ { \prime } \left( \frac { \pi } { 4 } \right)$ is

A) $- 5 \mathbf { i } + 2 \mathbf { k }$
B) $2 \mathbf { i } - 5 \mathbf { k }$
C) $- 2 \mathbf { i } + 5 \mathbf { k }$
D) $- 2 \mathbf { i } - 5 \mathbf { k }$
E) $2 \mathbf { i } + 5 \mathbf { k }$

Question 22

Let $\mathbf { r } ( t ) = ( 2 - 3 t ) \mathbf { i } + 4 t \mathbf { j } - ( 1 - t ) \mathbf { k }$ Then $\mathbf { r } ^ { \prime } ( 0 )$ is

A) $- 3 \mathbf { i } - 4 \mathbf { j } - \mathbf { k }$
B) $3 \mathbf { i } + 4 \mathbf { j } - \mathbf { k }$
C) $3 \mathbf { i } + 4 \mathbf { j } + \mathbf { k }$
D) $- 3 \mathbf { i } - 4 \mathbf { j } + \mathbf { k }$
E) $- 3 \mathbf { i } + 4 \mathbf { j } + \mathbf { k }$

Question 23

Let $\mathbf { r } ( t ) = 4 t \mathbf { i } - \cos t \mathbf { j } + \sin t \mathbf { k }$ Then $\mathbf { r } ^ { \prime } \left( \frac { \pi } { 6 } \right)$ is

A) $4 \mathbf { i } - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { j } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \mathbf { k }$
B) $4 \mathbf { i } + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { j } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \mathbf { k }$
C) $4 \mathbf { i } + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { j } - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \mathbf { k }$
D) $4 \mathbf { i } - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { j } - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \mathbf { k }$
E) $- 4 \mathbf { i } + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { j } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \mathbf { k }$

Question 24

Let $\mathbf { r } ( t ) = \cos ( 2 t ) \mathbf { i } - \sin ( 2 t ) \mathbf { j } + 6 t \mathbf { k }$ Then $\mathbf { r } ^ { \prime } \left( \frac { \pi } { 6 } \right)$ is

A) $\sqrt { 3 } \mathbf { i } - \mathbf { j } - 6 \mathbf { k }$
B) $\sqrt { 3 } \mathbf { i } - \mathbf { j } + 6 \mathbf { k }$
C) $- \sqrt { 3 } \mathbf { i } + \mathbf { j } + 6 \mathbf { k }$
D) $- \sqrt { 3 } \mathbf { i } - \mathbf { j } + 6 \mathbf { k }$
E) $- \sqrt { 3 } \mathbf { i } - \mathbf { j } - 6 \mathbf { k }$

Question 25

Let $\mathbf { r } ( t ) = \sin ( 2 t ) \mathbf { i } - \cos ( 2 t ) \mathbf { j } - 4 t \mathbf { k }$ Then $\mathbf { r } ^ { \prime } \left( \frac { \pi } { 4 } \right)$ is

A) $2 \mathbf { j } - 4 \mathbf { k }$
B) $2 \mathbf { j } + 4 \mathbf { k }$
C) $- 2 \mathbf { j } - 4 \mathbf { k }$
D) $- 2 \mathbf { j } + 4 \mathbf { k }$
E) $2 \mathbf { i } - 4 \mathbf { k }$

Question 26

Let $\mathbf { r } ( t ) = e ^ { t } \cos ( t ) \mathbf { i } - e ^ { t } \sin ( t ) \mathbf { j } + ( 2 - t ) ^ { 2 } \mathbf { k }$ Then $\mathbf { r } ^ { \prime } ( 0 )$ is

A) $\mathbf { i } - \mathbf { j } + 4 \mathbf { k }$
B) $\mathbf { i } - \mathbf { j } - 4 \mathbf { k }$
C) $\mathbf { i } + \mathbf { j } - 4 \mathbf { k }$
D) $- \mathbf { i } - \mathbf { j } + 4 \mathbf { k }$
E) $- \mathbf { i } + \mathbf { j } - 4 \mathbf { k }$

Question 27

Let $\mathbf { r } ( t ) = \cos ( 2 t ) \mathbf { i } - \sin ( 2 t ) \mathbf { j } + 4 t \mathbf { k }$ Then the unit tangent vector $\mathbf { T } \left( \frac { \pi } { 4 } \right)$ is

A) $- \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } \mathbf { i } + \frac { 2 } { \sqrt { 5 } } \mathbf { k }$
B) $\frac { 1 } { \sqrt { 5 } } \mathbf { i } + \frac { 2 } { \sqrt { 5 } } \mathbf { k }$
C) $- \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } \mathbf { i } - \frac { 2 } { \sqrt { 5 } } \mathbf { k }$
D) $\frac { 1 } { \sqrt { 5 } } \mathbf { i } - \frac { 2 } { \sqrt { 5 } } \mathbf { k }$
E) $- \frac { 2 } { \sqrt { 5 } } \mathbf { i } + \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } \mathbf { k }$

Question 28

Let $\mathbf { r } ( t ) = ( 2 - 3 t ) \mathbf { i } - 4 t \mathbf { j } + ( 1 - t ) \mathbf { k }$ The unit tangent vector $\mathbf { T } ( 0 )$ is

A) $- \frac { 3 } { \sqrt { 26 } } \mathbf { i } - \frac { 4 } { \sqrt { 26 } } \mathbf { j } + \frac { 1 } { \sqrt { 26 } } \mathbf { k }$
B) $\frac { 3 } { \sqrt { 26 } } \mathbf { i } - \frac { 4 } { \sqrt { 26 } } \mathbf { j } - \frac { 1 } { \sqrt { 26 } } \mathbf { k }$
C) $- \frac { 3 } { \sqrt { 26 } } \mathbf { i } + \frac { 4 } { \sqrt { 26 } } \mathbf { j } - \frac { 1 } { \sqrt { 26 } } \mathbf { k }$
D) $\frac { 3 } { \sqrt { 26 } } \mathbf { i } - \frac { 4 } { \sqrt { 26 } } \mathbf { j } + \frac { 1 } { \sqrt { 26 } } \mathbf { k }$
E) $- \frac { 3 } { \sqrt { 26 } } \mathbf { i } - \frac { 4 } { \sqrt { 26 } } \mathbf { j } - \frac { 1 } { \sqrt { 26 } } \mathbf { k }$

Question 29

Let $\mathbf { r } ( t ) = 6 t \mathbf { i } + \cos t \mathbf { j } - \sin t \mathbf { k }$ Then the unit tangent vector $\mathbf { T } \left( \frac { \pi } { 6 } \right)$ is

A) $\frac { 6 } { \sqrt { 37 } } \mathbf { i } + \frac { 1 } { 2 \sqrt { 37 } } \mathbf { j } - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 \sqrt { 37 } } \mathbf { k }$
B) $\frac { 6 } { \sqrt { 37 } } \mathbf { i } - \frac { 1 } { 2 \sqrt { 37 } } \mathbf { j } - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 \sqrt { 37 } } \mathbf { k }$
C) $\frac { 6 } { \sqrt { 37 } } \mathbf { i } - \frac { 1 } { 2 \sqrt { 37 } } \mathbf { j } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 \sqrt { 37 } } \mathbf { k }$
D) $- \frac { 6 } { \sqrt { 37 } } \mathbf { i } + \frac { 1 } { 2 \sqrt { 37 } } \mathbf { j } - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 \sqrt { 37 } } \mathbf { k }$
E) $- \frac { 6 } { \sqrt { 37 } } \mathbf { i } - \frac { 1 } { 2 \sqrt { 37 } } \mathbf { j } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 \sqrt { 37 } } \mathbf { k }$

Question 30

Let $\mathbf { r } ( t ) = \sin ( 2 t ) \mathbf { i } - \cos ( 2 t ) \mathbf { j } + 5 t \mathbf { k }$ Then the unit tangent vector $\mathbf { T } \left( \frac { \pi } { 4 } \right)$ is

A) $\frac { 5 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { j } + \frac { 2 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { k }$
B) $- \frac { 2 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { j } - \frac { 5 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { k }$
C) $\frac { 2 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { j } + \frac { 5 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { k }$
D) $\frac { 2 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { j } - \frac { 5 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { k }$
E) $- \frac { 2 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { j } + \frac { 5 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { k }$

Question 31

Let $\mathbf { r } ( t ) = \cos ( 2 t ) \mathbf { i } + \sin ( 2 t ) \mathbf { j } + 4 t \mathbf { k }$ Then the unit tangent vector $\mathbf { T } \left( \frac { \pi } { 4 } \right)$ is

A) $\frac { 1 } { \sqrt { 5 } } \mathbf { i } + \frac { 4 } { \sqrt { 5 } } \mathbf { k }$
B) $- \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } \mathbf { i } + \frac { 4 } { \sqrt { 5 } } \mathbf { k }$
C) $- \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } \mathbf { i } - \frac { 4 } { \sqrt { 5 } } \mathbf { k }$
D) $- \frac { 4 } { \sqrt { 5 } } \mathbf { i } + \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } \mathbf { k }$
E) $\frac { 4 } { \sqrt { 5 } } \mathbf { i } + \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } \mathbf { k }$

Question 32

Let $\mathbf { r } ( t ) = e ^ { t } \sin ( t ) \mathbf { i } - e ^ { t } \cos ( t ) \mathbf { j } + ( 1 - t ) ^ { 2 } \mathbf { k }$ . Then the unit tangent vector $\mathbf { T } ( 0 )$ is

A) $- \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \mathbf { i } + \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \mathbf { j } + \frac { 2 } { \sqrt { 6 } } \mathbf { k }$
B) $- \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \mathbf { i } + \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \mathbf { j } - \frac { 2 } { \sqrt { 6 } } \mathbf { k }$
C) $\frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \mathbf { i } + \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \mathbf { j } + \frac { 2 } { \sqrt { 6 } } \mathbf { k }$
D) $\frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \mathbf { i } - \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \mathbf { j } - \frac { 2 } { \sqrt { 6 } } \mathbf { k }$
E) $\frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \mathbf { i } + \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \mathbf { j } - \frac { 2 } { \sqrt { 6 } } \mathbf { k }$

Question 33

Let $\mathbf { r } ( t ) = \cos ( 2 t ) \mathbf { i } + \sin ( 2 t ) \mathbf { j } + 3 t \mathbf { k }$ Then the unit normal vector $\mathbf { n } \left( \frac { \pi } { 4 } \right)$ is

A)i
B) $- \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } \mathbf { i } + \frac { 4 } { \sqrt { 5 } } \mathbf { k }$
C) $\frac { 2 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { j } + \frac { 5 } { \sqrt { 29 } } \mathbf { k }$
D) $- \mathbf { j }$
E)k

Question 34

Let $\mathbf { r } ( t ) = 5 t \mathbf { i } - \cos ( 2 t ) \mathbf { j } - \sin ( 2 t ) \mathbf { k }$ Then $\text { n } \left( \frac { \pi } { 4 } \right)$ is

A) $- \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } \mathbf { i } + \frac { 2 } { \sqrt { 5 } } \mathbf { k }$
B)k
C) $- \mathbf { k }$
D) $- \mathbf { i }$
E)i

Question 35

Let $\mathbf { r } ( t ) = - \sin ( 2 t ) \mathbf { i } + 2 t \mathbf { j } - \cos ( 2 t ) \mathbf { k }$ Then the unit normal vector $\mathbf { n } \left( \frac { \pi } { 6 } \right)$ is

A) $\frac { 1 } { 2 } \mathbf { i } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \mathbf { k }$
B) $- \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \mathbf { i } - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { k }$
C) $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \mathbf { i } + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { k }$
D) $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \mathbf { i } - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { k }$
E) $- \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \mathbf { i } + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { k }$

Question 36

Let $\mathbf { r } ( t ) = \sin ( 3 t ) \mathbf { i } + \cos ( 3 t ) \mathbf { j } - t \mathbf { k }$ Then the unit normal vector $\mathbf { n } \left( \frac { \pi } { 6 } \right)$ is

A) $- \mathbf { i }$
B)k
C)j
D)i
E) $- \mathbf { j }$

Question 37

Let $\mathbf { r } ( t ) = - 2 t \mathbf { i } - \cos ( t ) \mathbf { j } + \sin ( t ) \mathbf { k }$ Then the unit normal vector $\mathbf { n } ( 0 )$ is

A) $- \mathbf { i }$
B)k
C)i
D)j
E) $- \mathbf { k }$

Question 38

Let $\mathbf { r } ( t ) = - 4 t \mathbf { i } - \cos ( t ) \mathbf { j } + \sin ( t ) \mathbf { k }$ Then the unit normal vector $\mathbf { n } ( 0 )$ is

A) $- \mathbf { i }$
B)k
C)i
D)j
E) $- \mathbf { k }$

Question 39

Let $\mathbf { r } ( t ) = - t \mathbf { i } + \sin ( t ) \mathbf { j } - \cos ( t ) \mathbf { k }$ Then the unit normal vector $\mathbf { n } ( 0 )$ is

A) $- \mathbf { i }$
B)k
C)i
D)j
E) $- \mathbf { k }$

Question 40

Let $\mathbf { r } ( t ) = \cos ( t ) \mathbf { i } - \sin ( t ) \mathbf { j } + \pi t \mathbf { k }$ Then the unit normal vector $\mathbf { r } ( t ) = \cos ( t ) \mathbf { i } - \sin ( t ) \mathbf { j } + \pi t \mathbf { k }$ is

A) $- \mathbf { i }$
B)k
C)i
D)j
E) $- \mathbf { k }$

Question 41

Let $\mathbf { r } ( t ) = t \mathbf { i } - 2 t \mathbf { j } + t \mathbf { k }$ Then the curvature K(t) is

A) $- \mathbf { i }$
B)k
C) $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \mathbf { i } + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { j }$
D)0
E) $- 2 \sin ( 2 t - 1 ) \mathbf { i } + \frac { t } { \sqrt { t ^ { 2 } - 1 } } \mathbf { j } - \frac { 1 } { ( 1 + t ) ^ { 2 } } \mathbf { k }$

Question 42

Let $\mathbf { r } ( t ) = 2 t \mathbf { i } + t \mathbf { j } - 3 t \mathbf { k }$ Then the curvature K(t) is

A)0
B) $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$
C) $\frac { 4 } { 3 }$
D)2
E) $- 2 \sin ( 2 t - 1 ) \mathbf { i } + \frac { t } { \sqrt { t ^ { 2 } - 1 } } \mathbf { j } - \frac { 1 } { ( 1 + t ) ^ { 2 } } \mathbf { k }$

Question 43

Let $\mathbf { r } ( t ) = \cos ( 2 t ) \mathbf { i } + \sin ( 2 t ) \mathbf { j } + t \mathbf { k }$ Then the curvature K(t) is

A)0
B)1
C) $\frac { 4 } { 5 }$
D)2
E) $\frac { 4 } { 13 }$

Question 44

Let $\mathbf { r } ( t ) = - \cos ( 2 t ) \mathbf { i } + \sin ( 2 t ) \mathbf { j } + 3 t \mathbf { k }$ Then the curvature K(t) is

A)0
B) $\frac { 4 } { 13 }$
C) $\frac { 4 } { 5 }$
D)2
E)1

Question 45

Let $\mathbf { r } ( t ) = 2 t \mathbf { i } + \sin ( 2 t ) \mathbf { j } - \cos ( 2 t ) \mathbf { k }$ Then the curvature K(t) is

A)0
B) $\frac { 4 } { 13 }$
C) $4$
D)2
E) $\frac { 1 } { 2 }$

Question 46

Let $\mathbf { r } ( t ) = ( 2 - 3 t ) \mathbf { i } + 4 t \mathbf { j } - ( 1 - t ) \mathbf { k }$ Then the curvature K(t) is

A)0
B) $\frac { 4 } { 13 }$
C) $\frac { 4 } { 5 }$
D)2
E) $\frac { 1 } { 2 }$

Question 47

Let $\mathbf { r } ( t ) = t \mathbf { i } - \sin ( t ) \mathbf { j } - \cos ( t ) \mathbf { k }$ Then the curvature K(t) is

A)0
B) $\frac { 4 } { 13 }$
C) $\frac { 4 } { 5 }$
D)2
E) $\frac { 1 } { 2 }$

Question 48

Let $\mathbf { r } ( t ) = e ^ { t } \mathbf { i } - e ^ { - t } \mathbf { j } + 3 t \mathbf { k }$ Then the curvature K(0) is

A) $\frac { \sqrt { 2 } } { 13 }$
B) $\frac { \sqrt { 2 } } { 11 }$
C) $\frac { 4 } { 5 }$
D) $\frac { 4 } { 13 }$
E) $\frac { 1 } { 2 }$

Question 49

Let $y = 2 x ^ { 2 }$ . Then the curvature K at (1, 2) is

A) $\frac { \sqrt { 2 } } { 13 }$
B) $\frac { \sqrt { 2 } } { 11 }$
C) $\frac { 4 } { 5 }$
D) $\frac { 4 } { 17 \sqrt { 17 } }$
E) $\frac{4}{\sqrt{17}}$

Question 50

Let $y = 4 x - x ^ { 2 }$ . Then the curvature K at (1, 3) is

A) $\frac { 4 } { \sqrt { 17 } }$
B) $\frac { \sqrt { 2 } } { 11 }$
C) $\frac { 2 } { 5 \sqrt { 5 } }$
D) $\frac { 4 } { 17 \sqrt { 17 } }$
E) $\frac { 1 } { 2 }$

Question 51

Let $y = 2 x ^ { 2 } - x ^ { 3 }$ . Then the curvature K at (-1, 3) is

A) $\frac { 1 } { 25 \sqrt { 2 } }$
B) $\frac { \sqrt { 2 } } { 11 }$
C) $\frac { 2 } { 5 \sqrt { 5 } }$
D) $\frac { 4 } { 17 \sqrt { 17 } }$
E) $\frac { 1 } { 2 }$

Question 52

Let $y = \sqrt { x }$ . Then the curvature K at (4, 2) is

A) $\frac { 2 } { 25 \sqrt { 5 } }$
B) $\frac { \sqrt { 2 } } { 11 }$
C) $\frac { 2 } { 5 \sqrt { 5 } }$
D) $\frac { 2 } { 17 \sqrt { 17 } }$
E) $\frac { 1 } { 2 }$

Question 53

Let $y = e ^ { - x }$ . Then the curvature K at (0, 1) is

A) $\frac { 2 } { 25 \sqrt { 5 } }$
B) $\frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } }$
C) $\frac { 2 } { 5 \sqrt { 5 } }$
D) $\frac { 2 } { 17 \sqrt { 17 } }$
E) $\frac { 1 } { 2 }$

Question 54

The curvature K of $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 25$ at (-3, -4) is

A) $\frac { 2 } { 25 \sqrt { 5 } }$
B) $\frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } }$
C) $\frac { 2 } { 5 \sqrt { 5 } }$
D) $\frac { 2 } { 17 \sqrt { 17 } }$
E) $\frac { 1 } { 5 }$

Question 55

The radius of curvature of y = cos x at (?, -1) is

A)1
B) $\frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } }$
C) $\frac { 2 } { 5 \sqrt { 5 } }$
D) $\frac { 2 } { 17 \sqrt { 17 } }$
E) $\frac { 7 } { 125 }$

Question 56

The radius of curvature of $y = x ^ { 3 } - 2 x$ at (2, 4) is

A)1
B) $\frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } }$
C) $\frac { 2 } { 5 \sqrt { 5 } }$
D) $\frac { 101 \sqrt { 101 } } { 12 }$
E) $\frac { 7 } { 125 }$

Question 57

The radius of curvature of $\mathbf { r } ( t ) = \cos t \mathbf { i } + \sin t \mathbf { j } + t \mathbf { k }$ at the point corresponding to $t = \frac { \pi } { 2 }$ is

A) $\frac { 2 } { 17 \sqrt { 17 } }$
B) $\frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } }$
C)2
D) $\frac { 101 \sqrt { 101 } } { 12 }$
E) $\frac { 7 } { 125 }$

Question 58

The radius of curvature of $\mathbf { r } ( t ) = 2 t \mathbf { i } + \left( t ^ { 2 } - 1 \right) \mathbf { j }$ at the point corresponding to t = 1 is

A) $4 \sqrt { 2 }$
B) $\frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } }$
C)2
D) $\frac { 101 \sqrt { 101 } } { 12 }$
E) $\frac { 7 } { 125 }$

Question 59

The radius of curvature of $\mathbf { r } ( t ) = e ^ { t } \mathbf { i } + e ^ { - t } \mathbf { j } + \mathbf { k }$ at the point corresponding to t = 0 is

A) $4 \sqrt { 2 }$
B) $\frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } }$
C)2
D) $\sqrt { 2 }$
E) $\frac { 7 } { 125 }$

Question 60

The radius of curvature of $\mathbf { r } ( t ) = \cos ( 2 t ) \mathbf { i } + \sin ( 2 t ) \mathbf { j } + t \mathbf { k }$ at the point corresponding to t = 0 is

A) $4 \sqrt { 2 }$
B) $\frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } }$
C)2
D) $\frac { 3 } { \sqrt { 2 } }$
E) 5
4

Question 61

The speed of a particle moving along the curve $\mathbf { r } ( t ) = t ^ { 2 } \mathbf { i } - t \mathbf { j } - t ^ { 2 } \mathbf { k }$ is

A) $\sqrt { 5 }$
B) $\frac { 1 } { \sqrt { 7 } }$
C) $\sqrt { 8 t ^ { 2 } + 1 }$
D) $\sqrt { 8 t ^ { 2 } - 1 }$
E) $\sqrt { 13 }$

Question 62

The speed of a particle moving along the curve $\mathbf { r } ( t ) = ( t + 2 ) \mathbf { i } + 2 t \mathbf { j } + 3 \mathbf { k }$ is

A) $\sqrt { 8 t ^ { 2 } - 1 }$
B) $\sqrt { 13 }$
C) $\sqrt { 8 t ^ { 2 } + 1 }$
D) $\sqrt { 5 }$
E) $\frac { 1 } { \sqrt { 7 } }$

Question 63

The speed of a particle moving along the curve $\mathbf { r } ( t ) = \cos ( 2 t ) \mathbf { i } + \sin ( 2 t ) \mathbf { j } + 3 t \mathbf { k }$ is

A) $\sqrt { 8 t ^ { 2 } - 1 }$
B) $\sqrt { 13 }$
C) $\sqrt { 8 t ^ { 2 } + 1 }$
D) $\sqrt { 5 }$
E) $\sqrt { 7}$

Question 64

The speed of a particle moving along the curve $\mathbf { r } ( t ) = 2 t \mathbf { i } - \cos ( 3 t ) \mathbf { j } + \sin ( 3 t ) \mathbf { k }$ is

A) $\sqrt { 8 t ^ { 2 } - 1 }$
B) $\sqrt { 11 }$
C) $\sqrt { 8 t ^ { 2 } + 1 }$
D) $\sqrt { 5 }$
E) $\sqrt { 13 }$

Question 65

The speed of a particle moving along the curve $\mathbf { r } ( t ) = e ^ { t } \mathbf { i } + \cos ( t ) \mathbf { j } - \sin ( t ) \mathbf { k }$ is

A) $\sqrt { e ^ { 2 t } + 1 }$
B) $\sqrt { 11 }$
C) $\sqrt { 8 t ^ { 2 } + 1 }$
D) $\sqrt { e ^ { 2 t } - 1 }$
E) $\sqrt { 8 t ^ { 2 } - 1 }$

Question 66

The magnitude of the acceleration of a particle moving along the curve $\mathbf { r } ( t ) = t ^ { 2 } \mathbf { i } - t \mathbf { j } - t ^ { 2 } \mathbf { k }$ is

A) $2 \sqrt { 2 }$
B) $\sqrt { 11 }$
C) $\sqrt { 8 t ^ { 2 } + 1 }$
D) $\sqrt { 5 }$
E) $\sqrt { 8 t ^ { 2 } - 1 }$

Question 67

The magnitude of the acceleration of a particle moving along the curve $\mathbf { r } ( t ) = ( t + 2 ) \mathbf { i } + 2 t \mathbf { j } + 3 \mathbf { k }$ is

A) $2 \sqrt { 2 }$
B) $\sqrt { 11 }$
C) $\sqrt { 8 t ^ { 2 } + 1 }$
D) $\sqrt { 5 }$
E)0

Question 68

The magnitude of the acceleration of a particle moving along the curve $\mathbf { r } ( t ) = \cos ( 2 t ) \mathbf { i } + \sin ( 2 t ) \mathbf { j } + 3 t \mathbf { k }$ is

A) $2 \sqrt { 2 }$
B) $\sqrt { 11 }$
C) $4 \sqrt { 2 }$
D)4
E)0

Question 69

The magnitude of the acceleration of a particle moving along the curve $\mathbf { r } ( t ) = 2 t \mathbf { i } - \cos ( 3 t ) \mathbf { j } + \sin ( 3 t ) \mathbf { k }$ is

A) $2 \sqrt { 2 }$
B) $\sqrt { 11 }$
C) $4 \sqrt { 2 }$
D) $\sqrt { 5 }$
E)9

Question 70

The magnitude of the acceleration of a particle moving along the curve $\mathbf { r } ( t ) = \sin ( 4 t ) \mathbf { i } - \cos ( 4 t ) \mathbf { j } + 7 \mathbf { k }$ is

A) $2 \sqrt { 2 }$
B)16
C) $4 \sqrt { 2 }$
D) $\sqrt { 5 }$
E) $9 \sqrt { 2 }$

Question 71

The tangential component $a _ { \mathrm { T } } ( t )$ of the acceleration of a particle moving along the curve $\mathbf { r } ( t ) = t ^ { 2 } \mathbf { i } + \left( 2 t ^ { 2 } - 1 \right) \mathbf { j } - 3 t ^ { 2 } \mathbf { k }$ is

A) $2 \sqrt { 14 }$
B) $\sqrt { 58 }$
C) $\sqrt { 65 }$
D) $\sqrt { 73 }$
E) $\sqrt { 78 }$

Question 72

The tangential component $a _ { \mathrm { T } } ( t )$ of the acceleration of a particle moving along the curve $\mathbf { r } ( t ) = 2 t \mathbf { i } - \sin t \mathbf { j } + \cos t \mathbf { k }$ is

A) $\sqrt { 56 }$
B) $\sqrt { 65 }$
C)0
D) $\sqrt { 73 }$
E) $\sqrt { 78 }$

Question 73

The tangential component $a _ { \mathrm { T } } ( t )$ of the acceleration of a particle moving along the curve $\mathbf { r } ( t ) = t ^ { 2 } \mathbf { i } - t \mathbf { j } - t ^ { 2 } \mathbf { k }$ is

A) $\sqrt { 56 }$
B) $\sqrt { 8 t ^ { 2 } + 1 }$
C)0
D) $\sqrt { 65 }$
E) $\frac { 8 t } { \sqrt { 8 t ^ { 2 } + 1 } }$

Question 74

The tangential component $a _ { \mathrm { T } } ( t )$ of the acceleration of a particle moving along the curve $\mathbf { r } ( t ) = ( t + 2 ) \mathbf { i } + 2 t \mathbf { j } + 2 \mathbf { k }$ is

A) $\sqrt { 56 }$
B) $\sqrt { 8 t ^ { 2 } + 1 }$
C)0
D) $\sqrt { 65 }$
E) $\frac { 8 t } { \sqrt { 8 t ^ { 2 } + 1 } }$

Question 75

The tangential component $a _ { \mathrm { T } } ( t )$ of the acceleration of a particle moving along the curve $\mathbf { r } ( t ) = \sin ( 2 t ) \mathbf { i } - \cos ( 2 t ) \mathbf { j } + 2 t \mathbf { k }$ is

A) $\sqrt { 56 }$
B) $\sqrt { 8 t ^ { 2 } + 1 }$
C)0
D) $\sqrt { 65 }$
E) $\frac { 8 t } { \sqrt { 8 t ^ { 2 } + 1 } }$

Question 76

The normal component $a _ { \mathrm { N } } ( t )$ of the acceleration of a particle moving along the curve $\mathbf { r } ( t ) = \sin ( 2 t ) \mathbf { i } - \cos ( 2 t ) \mathbf { j } + 2 t \mathbf { k }$ is

A)4
B) $\sqrt { 8 t ^ { 2 } + 1 }$
C) $\sqrt { 56 }$
D) $\sqrt { 65 }$
E) $\frac { 8 t } { \sqrt { 8 t ^ { 2 } + 1 } }$

Question 77

The normal component $a _ { \mathrm { N } } ( t )$ of the acceleration of a particle moving along the curve $\mathbf { r } ( t ) = 2 t \mathbf { i } - \sin ( t ) \mathbf { j } + \cos ( t ) \mathbf { k }$ is

A)0
B) $\sqrt { 8 t ^ { 2 } + 1 }$
C) $\sqrt { 56 }$
D)1
E) $\frac { 8 t } { \sqrt { 8 t ^ { 2 } + 1 } }$

Question 78

The normal component $a _ { \mathrm { N } } ( t )$ of the acceleration of a particle moving along the curve $\mathbf { r } ( t ) = t ^ { 2 } \mathbf { i } - t \mathbf { j } - t ^ { 2 } \mathbf { k }$ is

A)0
B) $\sqrt { 8 t ^ { 2 } + 1 }$
C) $\sqrt { 56 }$
D)1
E) $\frac { 2 \sqrt { 2 } } { \sqrt { 8 t ^ { 2 } + 1 } }$

Question 79

The normal component $a _ { \mathrm { N } } ( t )$ of the acceleration of a particle moving along the curve $\mathbf { r } ( t ) = e ^ { t } \mathbf { i } + e ^ { - t } \mathbf { j } + t \mathbf { k }$ is

A) $\frac { 3 } { \sqrt { 2 } }$
B) $\frac { \sqrt { 2 } } { 3 }$
C) $\sqrt { 56 }$
D)1
E)0

Question 80

The normal component $a _ { \mathrm { N } } ( t )$ of the acceleration of a particle moving along the curve $\mathbf { r } ( t ) = \sin ( 2 t ) \mathbf { i } - \cos ( t ) \mathbf { j } + 2 t \mathbf { k }$ is

A)0
B)4
C) $\sqrt { 56 }$
D)1
E) $\frac { 8 t } { \sqrt { 8 t ^ { 2 } + 1 } }$