Evaluate the integral $\int _ { 0 } ^ { 1 } \left( t \mathbf { i } - 2 t ^ { 2 } \mathbf { j } + e ^ { - t } \mathbf { k } \right) d t$ .
A)i
B)j
C) $\mathbf { i } - \mathbf { j } + \left( \frac { 1 } { e } - 1 \right) \mathbf { k }$
D) $\mathbf { i } - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { j } + \left( 1 - \frac { 1 } { e } \right) \mathbf { k }$
E) $\frac { 1 } { 2 } \mathbf { i } - \mathbf { j }$
F) $\frac { 1 } { 2 } \mathbf { i } - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { j }$
G) $\frac { 1 } { 2 } \mathbf { i } - \frac { 2 } { 3 } \mathbf { j } + \left( \frac { 1 } { e } - 1 \right) \mathbf { k }$
H) $\frac { 1 } { 2 } \mathbf { i } - \frac { 2 } { 3 } \mathbf { j } + \left( 1 - \frac { 1 } { e } \right) \mathbf { k }$

Question

Evaluate the integral $\int _ { 0 } ^ { 1 } \left( t \mathbf { i } - 2 t ^ { 2 } \mathbf { j } + e ^ { - t } \mathbf { k } \right) d t$ .
A)i
B)j
C) $\mathbf { i } - \mathbf { j } + \left( \frac { 1 } { e } - 1 \right) \mathbf { k }$
D) $\mathbf { i } - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { j } + \left( 1 - \frac { 1 } { e } \right) \mathbf { k }$
E) $\frac { 1 } { 2 } \mathbf { i } - \mathbf { j }$
F) $\frac { 1 } { 2 } \mathbf { i } - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { j }$  
G) $\frac { 1 } { 2 } \mathbf { i } - \frac { 2 } { 3 } \mathbf { j } + \left( \frac { 1 } { e } - 1 \right) \mathbf { k }$  
H) $\frac { 1 } { 2 } \mathbf { i } - \frac { 2 } { 3 } \mathbf { j } + \left( 1 - \frac { 1 } { e } \right) \mathbf { k }$

Quizplus · Accepted Answer

Integrating each component separately: For the $\mathbf{i}$ component, $\int_0^1 t dt = \frac{1}{2}t^2\Big|_0^1 = \frac{1}{2}$. For the $\mathbf{j}$ component, $\int_0^1 -2t^2 dt = -\frac{2}{3}t^3\Big|_0^1 = -\frac{2}{3}$. For the $\mathbf{k}$ component, $\int_0^1 e^{-t} dt = -e^{-t}\Big|_0^1 = 1 - \frac{1}{e}$. Combining these gives $\frac{1}{2}\mathbf{i} - \frac{2}{3}\mathbf{j} + \left(1 - \frac{1}{e}\right)\mathbf{k}$.

Evaluate the Integral ∫01(ti−2t2j+e−tk)dt\int _ { 0 } ^ { 1 } \left( t \mathbf { i } - 2 t ^ { 2 } \mathbf { j } + e ^ { - t } \mathbf { k } \right) d t∫01​(ti−2t2j+e−tk)dt

Evaluate the Integral $\int _ { 0 } ^ { 1 } \left( t \mathbf { i } - 2 t ^ { 2 } \mathbf { j } + e ^ { - t } \mathbf { k } \right) d t$