Find a function $f ( x , y )$ such that $\nabla f = \left( x ^ { 2 } + y \right) \mathbf { i } + ( x + y ) \mathbf { j }$ .
A) $\frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + x y + y ^ { 2 }$
B) $\frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } x y + \frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 }$
C) $\frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + x y + \frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 }$
D)$\frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } x y + y ^ { 2 }$
E) $\frac { 1 } { 2 } x ^ { 3 } + x y + y ^ { 2 }$
F)$\frac { 1 } { 2 } x ^ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } x y + \frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 }$
G) $\frac { 1 } { 2 } x ^ { 3 } + x y + \frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 }$
H) $\frac { 1 } { 2 } x ^ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } x y + y ^ { 2 }$

Question

Find a function $f ( x , y )$ such that $\nabla f = \left( x ^ { 2 } + y \right) \mathbf { i } + ( x + y ) \mathbf { j }$ .
A) $\frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + x y + y ^ { 2 }$ 
B) $\frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } x y + \frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 }$ 
C) $\frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + x y + \frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 }$ 
D)$\frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } x y + y ^ { 2 }$
E) $\frac { 1 } { 2 } x ^ { 3 } + x y + y ^ { 2 }$ 
F)$\frac { 1 } { 2 } x ^ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } x y + \frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 }$ 
G) $\frac { 1 } { 2 } x ^ { 3 } + x y + \frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 }$ 
H) $\frac { 1 } { 2 } x ^ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } x y + y ^ { 2 }$

Quizplus · Accepted Answer

The gradient $\nabla f$ of a function $f(x, y)$ is given by $\left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)$. Matching the given gradient $\left( x^2 + y, x + y \right)$ with the partial derivatives of the options, option C, $\frac{1}{3}x^3 + xy + \frac{1}{2}y^2$, correctly integrates to the given gradient components.

Find a Function f(x,y)f ( x , y )f(x,y) Such That ∇f=(x2+y)i+(x+y)j\nabla f = \left( x ^ { 2 } + y \right) \mathbf { i } + ( x + y ) \mathbf { j }∇f=(x2+y)i+(x+y)j

Find a Function $f ( x , y )$ Such That $\nabla f = \left( x ^ { 2 } + y \right) \mathbf { i } + ( x + y ) \mathbf { j }$