Solve the problem.
-Find the length of the curve $x = \frac { y ^ { 2 } } { 32 } - 4 \ln \left( \frac { y } { 5 } \right) , 8 \leq y \leq 16$.
A) $6 + 4 \ln 2$
B) $8 + 4 \ln \frac { 2 } { 5 }$
C) $6 + 4 \ln \frac { 2 } { 5 }$
D) $8 + 4 \ln 2$

Question

Quizplus · Accepted Answer

Explanation:The derivative of $x$ with respect to $y$ is $$\frac { dy } { dx } = \frac { y } { 16 } - \frac { 4 } { y }$$So, the length of the curve is$$\begin{split} \int_8^{16} \sqrt { 1 + \left( \frac { dy } { dx } \right) ^2 } dy & = \int_8^{16} \sqrt { 1 + \left( \frac { y } { 16 } - \frac { 4 } { y } \right) ^2 } dy \\ & = \int_8^{16} \sqrt { 1 + \frac { y ^2 } { 256 } - \frac { y } { 4 } + \frac { 16 } { y ^2 } } dy \\ & = \int_8^{16} \sqrt { \frac { y ^2 } { 256 } + \frac { 16 } { y ^2 } - \frac { y } { 4 } + 1 } dy \\ & = \int_8^{16} \sqrt { \left( \frac { y } { 16 } - \frac { 4 } { y } \right) ^2 + 1 } dy \\ & = \int_8^{16} \left| \frac { y } { 16 } - \frac { 4 } { y } \right| dy \\ & = \int_8^{16} \left( \frac { y } { 16 } - \frac { 4 } { y } \right) dy \\ & = \left[ \frac { y ^2 } { 32 } - 4 \ln | y | \right]_8^{16} \\ & = \frac { 16 ^2 } { 32 } - 4 \ln 16 - \left( \frac { 8 ^2 } { 32 } - 4 \ln 8 \right) \\ & = 6 + 4 \ln 2 \end{split}$$

Solve the Problem x=y232−4ln⁡(y5),8≤y≤16x = \frac { y ^ { 2 } } { 32 } - 4 \ln \left( \frac { y } { 5 } \right) , 8 \leq y \leq 16x=32y2​−4ln(5y​),8≤y≤16

Solve the Problem $x = \frac { y ^ { 2 } } { 32 } - 4 \ln \left( \frac { y } { 5 } \right) , 8 \leq y \leq 16$