Evaluate the cylindrical coordinate integral.
-$$\int _ { 3 \pi } ^ { 5 \pi } \int _ { 6 } ^ { 9 } \int _ { 10 / \mathrm { r } } ^ { 11 / \mathrm { r } } \mathrm { dzrrdr } \mathrm { d } \theta$$
A) $6 \pi$
B) $60 \pi$
C) $120 \pi$
D) $12 \pi$

Question

Quizplus · Accepted Answer

Explanation:The limits of integration are: $3\pi\le \theta\le 5\pi, 6\le r\le 9, \frac{10}{r}\le z\le \frac{11}{r}$. So, the integral is$$\int _ { 3 \pi } ^ { 5 \pi } \int _ { 6 } ^ { 9 } \int _ { 10 / \mathrm { r } } ^ { 11 / \mathrm { r } } \mathrm { dzrrdr } \mathrm { d } \theta = \int _ { 3 \pi } ^ { 5 \pi } \int _ { 6 } ^ { 9 } \left [ zr \right ] _ { 10 / \mathrm { r } } ^ { 11 / \mathrm { r } } \mathrm { rdr } \mathrm { d } \theta = \int _ { 3 \pi } ^ { 5 \pi } \int _ { 6 } ^ { 9 } \left ( 11 - 10 \right ) \mathrm { rdr } \mathrm { d } \theta = \int _ { 3 \pi } ^ { 5 \pi } \int _ { 6 } ^ { 9 } 1 \mathrm { rdr } \mathrm { d } \theta = \int _ { 3 \pi } ^ { 5 \pi } \left [ \frac { r ^ { 2 } } { 2 } \right ] _ { 6 } ^ { 9 } \mathrm { d } \theta = \int _ { 3 \pi } ^ { 5 \pi } \frac { 81 } { 2 } - \frac { 36 } { 2 } \mathrm { d } \theta = \int _ { 3 \pi } ^ { 5 \pi } \frac { 45 } { 2 } \mathrm { d } \theta = \left [ \frac { 45 } { 2 } \theta \right ] _ { 3 \pi } ^ { 5 \pi } = \frac { 45 } { 2 } ( 5 \pi - 3 \pi ) = 6 \pi$$

Evaluate the Cylindrical Coordinate Integral ∫3π5π∫69∫10/r11/rdzrrdrdθ\int _ { 3 \pi } ^ { 5 \pi } \int _ { 6 } ^ { 9 } \int _ { 10 / \mathrm { r } } ^ { 11 / \mathrm { r } } \mathrm { dzrrdr } \mathrm { d } \theta∫3π5π​∫69​∫10/r11/r​dzrrdrdθ

Evaluate the Cylindrical Coordinate Integral $\int _ { 3 \pi } ^ { 5 \pi } \int _ { 6 } ^ { 9 } \int _ { 10 / \mathrm { r } } ^ { 11 / \mathrm { r } } \mathrm { dzrrdr } \mathrm { d } \theta$