Use integration by parts to establish a reduction formula for the integral.
-$$\int x ^ { n } e ^ { - x ^ { 2 } } d x$$
A) $\int x ^ { n } e ^ { - x ^ { 2 } } d x = - 2 x ^ { n - 1 } e ^ { - x ^ { 2 } } - 2 ( n - 1 ) \int x ^ { n - 2 } e ^ { - x ^ { 2 } } d x$
B) $\int \mathrm { x } ^ { \mathrm { n } } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { x } ^ { 2 } } \mathrm { dx } = - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { x } ^ { \mathrm { n } } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { x } ^ { 2 } + \frac { \mathrm { n } } { 2 } \int \mathrm { x } ^ { \mathrm { n } - 1 } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { x } ^ { 2 } } \mathrm { dx } }$
C) $\int x ^ { n } e ^ { - x ^ { 2 } } d x = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { n - 1 } e ^ { - x ^ { 2 } } + \frac { n - 1 } { 2 } \int x ^ { n - 2 } e ^ { - x ^ { 2 } } d x$
D) $\int \mathrm { x } ^ { \mathrm { n } } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { x } ^ { 2 } } \mathrm { dx } = \mathrm { n } \mathrm { x } ^ { \mathrm { n } - 1 } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { x } ^ { 2 } + 2 n } \int \mathrm { x } ^ { \mathrm { n } - 1 } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { x } ^ { 2 } } \mathrm { dx }$

Question

Quizplus · Accepted Answer

Integration by parts with $ u = x^{n-1} $ and $ dv = x e^{-x^2} dx $ leads to the reduction formula $\int x^n e^{-x^2} dx = -\frac{1}{2} x^{n-1} e^{-x^2} + \frac{n-1}{2} \int x^{n-2} e^{-x^2} dx$.

Use Integration by Parts to Establish a Reduction Formula for the Integral