Let $ { \vec { F } } = x \vec { i } + y \vec { j }$ .Write down an iterated integral that computes the flux of $\vec { F }$ through S, where S is the part of the surface $z = x ^ { 2 } + y ^ { 2 }$ below the plane z = 16, oriented downward.
A) $\int _ { - 4 } ^ { 4 } \int _ { - \sqrt { 16 - x ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { 16 - x ^ { 2 } } } 2 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) d y d x$
B) $- \int _ { - 4 } ^ { 4 } \int _ { - \sqrt { 16 - x ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { 6 - x ^ { 2 } } } 2 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) d x d y$
C) $\int _ { 0 } ^ { 4 } \int _ { - \sqrt { 16 - x ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { 16 - x ^ { 2 } } } 2 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) d y d x$
D) $- \int _ { - 4 } ^ { 4 } \int _ { - \sqrt { 16 - x ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { 16 - x ^ { 2 } } } \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) d y d x$
E) $\int _ { 0 } ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { \sqrt { 16 - x ^ { 2 } } } \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) d y d x$

Question

Let $  { \vec { F } } = x \vec { i } + y \vec { j }$ .Write down an iterated integral that computes the flux of $\vec { F }$ through S, where S is the part of the surface $z = x ^ { 2 } + y ^ { 2 }$ below the plane z = 16, oriented downward.
A) $\int _ { - 4 } ^ { 4 } \int _ { - \sqrt { 16 - x ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { 16 - x ^ { 2 } } } 2 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) d y d x$
B) $- \int _ { - 4 } ^ { 4 } \int _ { - \sqrt { 16 - x ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { 6 - x ^ { 2 } } } 2 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) d x d y$
C) $\int _ { 0 } ^ { 4 } \int _ { - \sqrt { 16 - x ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { 16 - x ^ { 2 } } } 2 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) d y d x$
D) $- \int _ { - 4 } ^ { 4 } \int _ { - \sqrt { 16 - x ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { 16 - x ^ { 2 } } } \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) d y d x$
E) $\int _ { 0 } ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { \sqrt { 16 - x ^ { 2 } } } \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) d y d x$

Quizplus · Accepted Answer

The surface is oriented downward, so the normal vector is $\vec { n } = - \vec { k }$. The flux of $\vec { F }$ through S is given by the surface integral$$\iint\limits_S \vec { F } \cdot \vec { n } d \sigma = \iint\limits_S (x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot (-\vec { k }) d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k } d \sigma = \iint\limits_S -(x \vec { i } + y \vec { j }) \cdot \vec { k

Let F⃗=xi⃗+yj⃗ { \vec { F } } = x \vec { i } + y \vec { j }F=xi+yj​

Let ${ \vec { F } } = x \vec { i } + y \vec { j }$