Locate the local minimum of the function. $f ( x , y ) = x y + \frac { 4 } { x } + \frac { 4 } { y }$
A) $\left( 4 ^ { \frac { 1 } { 3 } } , 4 ^ { \frac { 1 } { 3 } } , 3 \cdot 64 ^ { \frac { 2 } { 3 } } \right)$
B) $\left( 4 ^ { \frac { 1 } { 3 } } , 4 ^ { \frac { 1 } { 3 } } , 12 ^ { \frac { 2 } { 3 } } \right)$
C) $\left( 4 ^ { \frac { 1 } { 3 } } , 4 ^ { \frac { 1 } { 3 } } , 4 ^ { \frac { 2 } { 3 } } \right)$
D) $\left( 4 ^ { \frac { 1 } { 3 } } , 4 ^ { \frac { 1 } { 3 } } , 3 \cdot 4 ^ { \frac { 2 } { 3 } } \right)$
E) $\left( 4 ^ { \frac { 1 } { 3 } } , 4 ^ { \frac { 1 } { 3 } } , 3 \cdot 4 ^ { \frac { 1 } { 3 } } \right)$

Question

Locate the local minimum of the function.   $f ( x , y ) = x y + \frac { 4 } { x } + \frac { 4 } { y }$  
A) $\left( 4 ^ { \frac { 1 } { 3 } } , 4 ^ { \frac { 1 } { 3 } } , 3 \cdot 64 ^ { \frac { 2 } { 3 } } \right)$
B) $\left( 4 ^ { \frac { 1 } { 3 } } , 4 ^ { \frac { 1 } { 3 } } , 12 ^ { \frac { 2 } { 3 } } \right)$
C) $\left( 4 ^ { \frac { 1 } { 3 } } , 4 ^ { \frac { 1 } { 3 } } , 4 ^ { \frac { 2 } { 3 } } \right)$
D) $\left( 4 ^ { \frac { 1 } { 3 } } , 4 ^ { \frac { 1 } { 3 } } , 3 \cdot 4 ^ { \frac { 2 } { 3 } } \right)$
E) $\left( 4 ^ { \frac { 1 } { 3 } } , 4 ^ { \frac { 1 } { 3 } } , 3 \cdot 4 ^ { \frac { 1 } { 3 } } \right)$

Quizplus · Accepted Answer

The critical points are found by setting the partial derivatives to zero. Solving gives $x = y = 4^{1/3}$. Substituting back into the function gives the local minimum value as $3 \cdot 4^{2/3}$.

Locate the Local Minimum of the Function f(x,y)=xy+4x+4yf ( x , y ) = x y + \frac { 4 } { x } + \frac { 4 } { y }f(x,y)=xy+x4​+y4​

Locate the Local Minimum of the Function $f ( x , y ) = x y + \frac { 4 } { x } + \frac { 4 } { y }$