Deck 13: Functions of Several Variables

Question 1

The domain of the function $f ( x , y ) = \frac { 2 x y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }$ is

A) $\{ ( x , y ) : x \neq - y \}$
B) $\{ ( x , y ) : x \neq y \}$
C) $\{ ( x , y ) : ( x , y ) \neq ( 0,0 ) \}$
D) $\{ ( x , y ) : x \neq 0 \}$
E) $\{ ( x , y ) : y \neq 0 \}$

Answer 1

$\{ ( x , y ) : ( x , y ) \neq ( 0,0 ) \}$

Question 2

The domain of the function $f ( x , y ) = \frac { x } { \sqrt { 2 x + 3 y } }$ is

A) $\{ ( x , y ) : x \neq 0 \}$
B) $\{ ( x , y ) : 3 x + 2 y \neq 0 \}$
C) $\{ ( x , y ) : - 2 x + 3 y \neq 0 \}$
D) $\{ ( x , y ) : 2 x - 3 y \neq 0 \}$
E) $\{ ( x , y ) : 2 x + 3 y > 0 \}$

Answer 2

$\{ ( x , y ) : 2 x + 3 y > 0 \}$

Question 3

The domain of the function $f ( x , y ) = \frac { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } - 2 x y + y ^ { 2 } }$ is

A) $\{ ( x , y ) : x \neq - y \}$
B) $\{ ( x , y ) : x \neq y \}$
C) $\{ ( x , y ) : 2 x \neq y \}$
D) $\{ ( x , y ) : x \neq 2 y \}$
E) $\left\{ ( x , y ) : x ^ { 2 } \neq y ^ { 2 } \right\}$

Answer 3

$\{ ( x , y ) : x \neq y \}$

Question 4

The domain of the function $f ( x , y ) = \frac { 2 x + y } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } }$ is

A) $\left\{ ( x , y ) : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \neq 1 \right\}$
B) $\left\{ ( x , y ) : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } > 1 \right\}$
C) $\left\{ ( x , y ) : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \geq 1 \right\}$
D) $\left\{ ( x , y ) : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } < 1 \right\}$
E) $\left\{ ( x , y ) : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 1 \right\}$

Question 5

The domain of the function $f ( x , y ) = \ln \left( 2 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right)$ is

A) $\{ ( x , y ) : ( x , y ) \neq ( 0,0 ) \}$
B) $\{ ( x , y ) : x \neq y \}$
C) $\{ ( x , y ) : y \neq \sqrt { 2 } x \}$
D) $\left\{ ( x , y ) : 2 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 0 \right\}$
E) $\left\{ ( x , y ) : 2 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \geq 0 \right\}$

Question 6

The domain of the function $f ( x , y ) = \sin ( x + y )$ is

A) $\{ ( x , y ) : ( x , y ) \neq ( 0,0 ) \}$
B) $\{ ( x , y ) : x \neq y \}$
C) $\{ ( x , y ) : x \neq - y \}$
D) $\{ ( x , y ) : y \geq x \}$
E) $\{ ( x , y ) : - \infty < x < \infty , - \infty < y < \infty \}$

Question 7

The domain of the function $f ( x , y ) = \cos ( x + y )$ is

A) $\{ ( x , y ) : ( x , y ) \neq ( 0,0 ) \}$
B) $\{ ( x , y ) : x \neq y \}$
C) $\{ ( x , y ) : x \neq - y \}$
D) $\{ ( x , y ) : y \geq x \}$
E) $\{ ( x , y ) : - \infty < x < \infty , - \infty < y < \infty \}$

Question 8

The domain of the function $f ( x , y ) = \ln \left( 2 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right)$ is

A) $\{ ( x , y ) : ( x , y ) \neq ( 0,0 ) \}$
B) $\{ ( x , y ) : 2 x \neq y \}$
C) $\left\{ ( x , y ) : y ^ { 2 } < 2 x ^ { 2 } \right\}$
D) $\{ ( x , y ) : y \neq \sqrt { 2 } x \}$
E) $\{ ( x , y ) : - \infty < x < \infty , - \infty < y < \infty \}$

Question 9

Let $f ( x , y ) = x + 2 y$ . Then $f ( x + \Delta x , y ) - f ( x , y )$ is

A) $\Delta x + 2 y$
B) $\Delta x$
C) $\Delta x + 2 \Delta y$
D) $\Delta x - 2 y$
E) $\Delta x - 2 \Delta y$

Question 10

Let $f ( x , y ) = x y + 3$ . Then $f ( x + \Delta x , y ) - f ( x , y )$ is

A) $\Delta x + 3 \Delta y$
B) $y - \Delta x$
C) $y + \Delta x$
D) $y \Delta x$
E) $\Delta x \Delta y$

Question 11

Let $f ( x , y ) = \frac { x } { y }$ . Then $f ( x + \Delta x , y ) - f ( x , y )$ is

A) $\frac { \Delta y } { x }$
B) $- \frac { \Delta y } { x }$
C) $\frac { \Delta x } { \Delta y }$
D) $- \frac { \Delta x } { y }$
E) $\frac { \Delta x } { y }$

Question 12

Let $f ( x , y ) = x ^ { 2 } - 2 x y$ . Then $f ( x + \Delta x , y ) - f ( x , y )$ is

A) $2 ( x - y ) \Delta x + ( \Delta x ) ^ { 2 }$
B) $2 ( x - y ) ( \Delta x ) ^ { 2 }$
C) $2 ( x - y ) ( \Delta x ) ^ { 2 } + \Delta x$
D) $2 ( x - y ) ( \Delta x ) ^ { 2 } + ( \Delta x ) ^ { 2 }$
E) $2 ( x - y ) \Delta x + y ( \Delta x ) ^ { 2 }$

Question 13

Let $f ( x , y ) = x + 2 y$ . Then $f ( x , y + \Delta y ) - f ( x , y )$ is

A) $\Delta x - 2 \Delta y$
B) $\Delta y$
C) $2 \Delta y$
D) $x + 2 \Delta y$
E) $\Delta x + 2 \Delta y$

Question 14

Let $f ( x , y ) = x y + 3$ . Then $f ( x , y + \Delta y ) - f ( x , y )$ is

A) $\Delta x \Delta y$
B) $x - 3 \Delta y$
C) $x + 3 \Delta y$
D) $x \Delta y$
E) $x ( \Delta y ) ^ { 2 }$

Question 15

Let $f ( x , y ) = \frac { x } { y }$ . Then $f ( x , y + \Delta y ) - f ( x , y )$ is

A) $- \frac { x \Delta y } { y ( y + \Delta y ) }$
B) $\frac { x \Delta y } { y ( y + \Delta y ) }$
C) $\frac { 2 x \Delta y } { y ( y + \Delta y ) }$
D) $- \frac { 2 x \Delta y } { y ( y + \Delta y ) }$
E) $\frac { x + \Delta y } { y ( y + \Delta y ) }$

Question 16

Let $f ( x , y ) = x ^ { 2 } - 2 x y$ . Then $f ( x , y + \Delta y ) - f ( x , y )$ is

A) $- \Delta x \Delta y$
B) $- 2 \Delta x \Delta y$
C) $- 2 x \Delta y$
D) $x \Delta y$
E) $2 x \Delta y$

Question 17

Let $f ( x , y ) = \frac { x - 1 } { y + 2 }$ . Then $f ( x , y + \Delta y ) - f ( x , y )$ is

A) $\frac { ( 1 - x ) \Delta y } { ( y + 2 ) ( y + 2 + \Delta y ) }$
B) $\frac { ( 1 + x ) \Delta y } { ( y + 2 ) ( y + 2 + \Delta y ) }$
C) $\frac { ( 1 - x ) \Delta y } { ( y - 2 ) ( y + 2 + \Delta y ) }$
D) $\frac { ( 1 + x ) \Delta y } { ( y - 2 ) ( y + 2 + \Delta y ) }$
E) $\frac { ( 1 - x ) \Delta y } { ( y + 2 ) ( y + 2 - \Delta y ) }$

Question 18

Let $f ( x , y ) = \frac { x - 1 } { y + 2 }$ . Then $f ( x + \Delta x , y ) - f ( x , y )$ is

A) $\frac { \Delta x } { y + 1 }$
B) $\frac { 2 \Delta x } { y + 2 }$
C) $- \frac { \Delta x } { y + 2 }$
D) $\frac { \Delta x } { y - 2 }$
E) $\frac { \Delta x } { y + 2 }$

Question 19

Let $f ( x , y ) = x ^ { 2 } - y ^ { 2 }$ . Then the level curve for z = 3 is

A)A circle
B)An ellipse
C)A hyperbola
D)A cardioid
E)A limaçon

Question 20

Let $f ( x , y ) = \cos x$ . Then the level curve for z = 0 is

A)A circle
B)An ellipse
C)A hyperbola
D)A horizontal line
E)A line parallel to the z-axis

Question 21

The limit $\lim _ { ( x , y ) \rightarrow ( 0,0 ) } \frac { x y } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } }$ is

A)Does not exist
B)1
C) $\frac { 1 } { 2 }$
D)0
E) $- 1$

Question 22

The limit $\lim _ { ( x , y ) \rightarrow ( 0,0 ) } \frac { x + y - 1 } { \sqrt { x + y } - 1 }$ is

A)Does not exist
B)2
C) $\frac { 1 } { 2 }$
D)0
E)1

Question 23

The limit $\lim _ { ( x , y ) \rightarrow ( 0,0 ) } \frac { x ^ { 2 } y ^ { 2 } } { x ^ { 4 } + y ^ { 4 } }$ is

A)Does not exist
B)2
C) $\frac { 1 } { 2 }$
D)0
E)1

Question 24

The limit $\lim _ { ( x , y ) \rightarrow ( 0,0 ) } \frac { x ^ { 2 } y ^ { 4 } } { x ^ { 4 } + y ^ { 4 } }$ is

A)Does not exist
B)2
C) $\frac { 1 } { 2 }$
D)0
E)1

Question 25

The limit $\lim _ { ( x , y ) \rightarrow ( 0,0 ) } \frac { x ^ { 2 } + y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }$ is

A)Does not exist
B)2
C) $\frac { 1 } { 2 }$
D)0
E)1

Question 26

The limit $\lim _ { ( x , y ) \rightarrow ( 0,0 ) } \frac { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }$ is

A)Does not exist
B)2
C) $\frac { 1 } { 2 }$
D)0
E)1

Question 27

The limit $\lim _ { ( x , y ) \rightarrow ( 2,2 ) } \frac { x y - 4 } { \sqrt { x y } - 2 }$ is

A)Does not exist
B)2
C)4
D)0
E)1

Question 28

The limit $\lim _ { ( x , y ) \rightarrow ( 0,0 ) } \frac { y ^ { 4 } + 3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 2 x y ^ { 3 } } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$ is

A)Does not exist
B)2
C)4
D)0
E)1

Question 29

The limit $\lim _ { ( x , y ) \rightarrow ( 0,0 ) } \frac { 4 x y } { 2 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }$ is

A)Does not exist
B)2
C)4
D)0
E)1

Question 30

The limit $\lim _ { ( x , y ) \rightarrow ( 0,0 ) } \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 4 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }$ is

A)Does not exist
B)2
C)4
D)0
E)1

Question 31

The limit $\lim _ { ( x , y ) \rightarrow ( 0,0 ) } \frac { \sin ( x - y ) } { x - y }$ is

A)Does not exist
B)2
C)4
D)0
E)1

Question 32

The limit $\lim _ { ( x , y , z ) \rightarrow ( 0,1,0 ) } \frac { x ^ { 2 } y ^ { 2 } + y ^ { 2 } z ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + z ^ { 2 } }$ is

A)Does not exist
B)2
C)4
D)0
E)1

Question 33

The limit $\lim _ { ( x , y , z ) \rightarrow ( 2,1,1 ) } \frac { x - y - z } { x ^ { 2 } - ( y + z ) ^ { 2 } }$

A)Does not exist
B)2
C) $\frac { 1 } { 4 }$
D)0
E)1

Question 34

The limit $\lim _ { ( x , y ) \rightarrow ( 0.0 ) } \frac { x ^ { 3 } y } { x ^ { 4 } + y ^ { 4 } }$ is

A)Does not exist
B)2
C)4
D)0
E)1

Question 35

Let $f ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { c c } \frac { x ^ { 2 } + y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } & ( x , y ) \neq ( 0,0 ) \\0 & ( x , y ) = ( 0,0 )\end{array} \right.$ . Then f is

A)Continuous at (0,0)
B)Discontinuous at (0,0)because f is undefined at (0,0)
C)Discontinuous at (0,0)because the limit of f at (0,0) does not exist
D)Discontinuous at (0,0)because the limit of f at (0,0) is different from the function values at (0,0)
E)Discontinuous at (0,0) for a reason that is different from the ones above

Question 36

Let $f ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { c c } \frac { x y - 4 } { \sqrt { x y } - 2 } & ( x , y ) \neq ( 2,2 ) \\0 & ( x , y ) = ( 2,2 )\end{array} \right.$ . Then f is

A)Continuous at (2,2)
B)Discontinuous at (2,2)because f is undefined at (2,2)
C)Discontinuous at (2,2)because the limit of f at (2,2) does not exist
D)Discontinuous at (2,2)because the limit of f at (2,2) is different from the function value at (2,2)
E)Discontinuous at (2,2) for a reason that is different from the ones above

Question 37

Let $f ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { c c } \frac { \sin ( x - y ) } { x - y } & x \neq y \\1 & x = y\end{array} \right.$ . Then f is

A)Continuous at (2,2)
B)Discontinuous at (2,2) because f is undefined at (2,2)
C)Discontinuous at (2,2) because the limit of f at (2,2) does not exist
D)Discontinuous at (2,2) because the limit of f at (2,2) is different from the function values at (2,2)
E)Discontinuous at (2,2) for a reason that is different from the ones above

Question 38

Let $f ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { c c } \frac { x y } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } & ( x , y ) \neq ( 0,0 ) \\0 & ( x , y ) = ( 0,0 )\end{array} \right.$ . Then f is

A)Continuous at (0,0)
B)Discontinuous at (0,0) because f is undefined at (0,0)
C)Discontinuous at (0,0) because the limit of f at (0,0) does not exist
D)Discontinuous at (0,0) because the limit of f at (0,0) is different from the function values at (0,0)
E)Discontinuous at (0,0) for a reason that is different from the ones above

Question 39

Let $f ( x , y , z ) = \left\{ \begin{array} { c c } \frac { 1 } { x ^ { 2 } + z ^ { 2 } } & ( x , z ) \neq ( 0,0 ) \\0 & ( x , z ) = ( 0,0 )\end{array} \right.$ . Then f is

A)Continuous at (0,1,0)
B)Discontinuous at (0,1,0) because f is undefined at (0,1,0)
C)Discontinuous at (0,1,0) because the limit of f at (0,1,0) does not exist
D)Discontinuous at (0,1,0) because the limit of f at (0,1,0) is different from the function values at (0,1,0)
E)Discontinuous at (0,1,0) for a reason that is different from the ones above

Question 40

Let $f ( x , y , z ) = \left\{ \begin{array} { c l } \frac { x - y - z } { x ^ { 2 } - ( y + z ) ^ { 2 } } & x ^ { 2 } \neq ( y + z ) ^ { 2 } \\\frac { 1 } { 4 } & x ^ { 2 } = ( y + z ) ^ { 2 }\end{array} \right.$ . Then f is

A)Continuous at (2,1,1)
B)Discontinuous at (2,1,1) because f is undefined at(2,1,1)
C)Discontinuous at (2,1,1) because the limit of f at (2,1,1) does not exist
D)Discontinuous at (2,1,1) because the limit of f at (2,1,1) is different from the function values at (2,1,1)
E)Discontinuous at (2,1,1) for a reason that is different from the ones above

Question 41

Let $f ( x , y ) = x \ln ( y ) - 4 x y + x$ . Then $f _ { y } ( x , y )$ is

A) $\frac { x ( 1 + 4 y ) } { y }$
B) $\frac { x ( 1 - 4 y ) } { y }$
C) $- \frac { x ( 1 - 4 y ) } { y }$
D) $\frac { y ( 1 - 4 y ) } { x }$
E) $\frac { y ( 1 + 4 y ) } { x }$

Question 42

Let $f ( x , y ) = x ^ { 3 } - 4 \log _ { 7 } \left( x ^ { 2 } \right) + \sin ^ { - 1 } ( x y )$ . Then $f _ { x } ( x , y )$ is

A) $- 3 x ^ { 2 } - \frac { 8 } { x \ln 7 } + \frac { y } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } y ^ { 2 } } }$
B) $3 x ^ { 2 } + \frac { 8 } { x \ln 7 } - \frac { y } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } y ^ { 2 } } }$
C) $3 x ^ { 2 } - \frac { 8 } { x \ln 7 } - \frac { y } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } y ^ { 2 } } }$
D) $3 x ^ { 2 } - \frac { 8 } { x \ln 7 } + \frac { y } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } y ^ { 2 } } }$
E) $3 x ^ { 2 } + \frac { 8 } { x \ln 7 } + \frac { y } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } y ^ { 2 } } }$

Question 43

Let $f ( x , y ) = \frac { x ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } ( x y ) }$ . Then $f _ { y } ( x , y )$ is

A) $- \frac { 2 x ^ { 3 } \cos ( x y ) } { \sin ^ { 2 } ( x y ) }$
B) $\frac { 2 x ^ { 3 } \cos ( x y ) } { \sin ^ { 2 } ( x y ) }$
C) $- \frac { 2 x ^ { 3 } \sin ( x y ) } { \cos ^ { 2 } ( x y ) }$
D) $\frac { 2 x ^ { 3 } \sin ( x y ) } { \cos ^ { 2 } ( x y ) }$
E) $- \frac { 2 y ^ { 3 } \cos ( x y ) } { \sin ^ { 2 } ( x y ) }$

Question 44

Let $f ( x , y ) = 5 ^ { x ^ { 2 } } y \sin ( x - y )$ . Then $f _ { y } ( x , y )$ is

A) $- 5 ^ { x ^ { 2 } } [ \sin ( x - y ) - y \cos ( x - y ) ]$
B) $x ^ { x ^ { 2 } } [ \sin ( x - y ) + y \cos ( x - y ) ]$
C) $5 ^ { x ^ { 2 } } [ \sin ( x - y ) - y \cos ( x - y ) ] 2 x \ln 5$
D) $5 ^ { x ^ { 2 } } [ \sin ( x - y ) - y \cos ( x - y ) ] \ln 5$
E) $5 ^ { x ^ { 2 } } [ \sin ( x - y ) - y \cos ( x - y ) ]$

Question 45

Let $f ( x , y ) = e ^ { x y ^ { 2 } }$ . Then $f _ { x } ( x , y )$ is

A) $x y ^ { 2 } e ^ { x y ^ { 2 } }$
B) $- 2 x y e ^ { x y ^ { 2 } }$
C) $2 x y e ^ { x y ^ { 2 } }$
D) $- x y ^ { 2 } e ^ { x y ^ { 2 } }$
E) $2 x y ^ { 2 } e ^ { x y ^ { 2 } }$

Question 46

Let $f ( x , y , z ) = x y \sin z - y z \sin x$ . Then $f _ { z } ( x , y , z )$ is

A) $x y \cos z + y \sin x$
B) $x y \cos z - y \sin x$
C) $- x y \cos z - y \sin x$
D) $- x y \cos z + y \sin x$
E) $x y \sin z - y \cos x$

Question 47

Let $f ( x , y , z ) = z ^ { x y }$ . Then $f _ { y } ( x , y , z )$ is

A) $x y z ^ { x y } \ln ( z )$
B) $- y z ^ { x y } \ln ( z )$
C) $x y ^ { x y } \ln ( z )$
D) $- x z ^ { x y } \ln ( z )$
E) $x z ^ { x y } \ln ( z )$

Question 48

Let $f ( x , y , z ) = \tan ^ { - 1 } \left( \frac { x y } { z } \right)$ . Then $f _ { x } ( x , y , z )$ is

A) $- \frac { x y } { z ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } }$
B) $\frac { x y } { z ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } }$
C) $\frac { x y } { x ^ { 2 } + z ^ { 2 } y ^ { 2 } }$
D) $- \frac { x y } { x ^ { 2 } + z ^ { 2 } y ^ { 2 } }$
E) $- \frac { x y } { x ^ { 2 } + x ^ { 2 } z ^ { 2 } }$

Question 49

Let $f ( x , y ) = \sqrt { 3 x ^ { 2 } - 2 y ^ { 3 } }$ . Then $f _ { x x } ( x , y )$ is

A) $- \frac { 6 y ^ { 3 } } { \left( \sqrt { 3 x ^ { 2 } - 2 y ^ { 3 } } \right) ^ { 3 } }$
B) $\frac { 6 y ^ { 3 } } { \left( \sqrt { 3 x ^ { 2 } - 2 y ^ { 3 } } \right) ^ { 3 } }$
C) $- \frac { 6 x ^ { 3 } } { \left( \sqrt { 3 x ^ { 2 } - 2 y ^ { 3 } } \right) ^ { 3 } }$
D) $\frac { 6 x ^ { 3 } } { \left( \sqrt { 3 x ^ { 2 } - 2 y ^ { 3 } } \right) ^ { 3 } }$
E) $- \frac { 6 x y ^ { 3 } } { \left( \sqrt { 3 x ^ { 2 } - 2 y ^ { 3 } } \right) ^ { 3 } }$

Question 50

Let $f ( x , y ) = \sqrt { 3 x ^ { 2 } - 2 y ^ { 3 } }$ . Then $f _ { x y } ( x , y )$ is

A) $- \frac { 9 x y ^ { 2 } } { \left( \sqrt { 3 x ^ { 2 } - 2 y ^ { 3 } } \right) ^ { 3 } }$
B) $\frac { 9 x y ^ { 2 } } { \left( \sqrt { 3 x ^ { 2 } - 2 y ^ { 3 } } \right) ^ { 3 } }$
C) $- \frac { 9 y x ^ { 2 } } { \left( \sqrt { 3 x ^ { 2 } - 2 y ^ { 3 } } \right) ^ { 3 } }$
D) $\frac { 9 y x ^ { 2 } } { \left( \sqrt { 3 x ^ { 2 } - 2 y ^ { 3 } } \right) ^ { 3 } }$
E) $\frac { 9 x ^ { 2 } y ^ { 2 } } { \left( \sqrt { 3 x ^ { 2 } - 2 y ^ { 3 } } \right) ^ { 3 } }$

Question 51

Let $f ( x , y ) = \sqrt { 3 x ^ { 2 } - 2 y ^ { 3 } }$ . Then $f _ { w y } ( x , y )$ is

A) $- \frac { 3 x y \left( 6 x ^ { 2 } - y ^ { 3 } \right) } { \left( \sqrt { 3 x ^ { 2 } - 2 y ^ { 3 } } \right) ^ { 3 } }$
B) $\frac { 3 x \left( 6 x ^ { 2 } - y ^ { 3 } \right) } { \left( \sqrt { 3 x ^ { 2 } - 2 y ^ { 3 } } \right) ^ { 3 } }$
C) $- \frac { 3 x \left( 6 x ^ { 2 } - y ^ { 3 } \right) } { \left( \sqrt { 3 x ^ { 2 } - 2 y ^ { 3 } } \right) ^ { 3 } }$
D) $\frac { 3 y \left( 6 x ^ { 2 } - y ^ { 3 } \right) } { \left( \sqrt { 3 x ^ { 2 } - 2 y ^ { 3 } } \right) ^ { 3 } }$
E) $- \frac { 3 y \left( 6 x ^ { 2 } - y ^ { 3 } \right) } { \left( \sqrt { 3 x ^ { 2 } - 2 y ^ { 3 } } \right) ^ { 3 } }$

Question 52

Let $f ( x , y ) = \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$ . Then $f _ { x x } ( x , y )$ is

A) $- x y ^ { 2 } \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$
B) $y ^ { 2 } \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$
C) $- y ^ { 2 } \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$
D) $- x ^ { 2 } \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$
E) $x ^ { 2 } \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$

Question 53

Let $f ( x , y ) = \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$ . Then $f _ { y x } ( x , y )$ is

A) $\cos \left( x y + y ^ { 2 } \right) - y ( x - 2 y ) \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$
B) $- \cos \left( x y + y ^ { 2 } \right) + y ( x + 2 y ) \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$
C) $- \cos \left( x y + y ^ { 2 } \right) - y ( x + 2 y ) \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$
D) $\cos \left( x y + y ^ { 2 } \right) - y ( x + 2 y ) \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$
E) $\cos \left( x y + y ^ { 2 } \right) + y ( x + 2 y ) \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$

Question 54

Let $f ( x , y ) = \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$ . Then $f _ {y y } ( x , y )$ is

A) $2 \cos \left( x y + y ^ { 2 } \right) - ( x - 2 y ) ^ { 2 } \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$
B) $- 2 \cos \left( x y + y ^ { 2 } \right) + ( x + 2 y ) ^ { 2 } \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$
C) $- 2 \cos \left( x y + y ^ { 2 } \right) - ( x + 2 y ) ^ { 2 } \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$
D) $2 \cos \left( x y + y ^ { 2 } \right) + ( x + 2 y ) ^ { 2 } \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$
E) $2 \cos \left( x y + y ^ { 2 } \right) - ( x + 2 y ) ^ { 2 } \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$

Question 55

Let $f ( x , y ) = \ln \left( \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right)$ . Then $f _ { x x } ( x , y )$ is

A) $- \frac { y ^ { 2 } - x ^ { 2 } } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$
B) $\frac { y ^ { 2 } + x ^ { 2 } } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$
C) $\frac { y ^ { 2 } - x ^ { 2 } } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$
D) $- \frac { y ^ { 2 } + x ^ { 2 } } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$
E) $\frac { y ^ { 2 } - 2 x ^ { 2 } } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$

Question 56

Let $f ( x , y ) = \ln \left( \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right)$ . Then $f _ { x y } ( x , y )$ is

A) $- \frac { 2 x y } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$
B) $\frac { 2 x y } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$
C) $- \frac { x ^ { 2 } y } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$
D) $\frac { x ^ { 2 } y } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$
E) $- \frac { y ^ { 2 } x } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$

Question 57

Let $f ( x , y ) = \ln \left( \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right)$ . Then $f _ { y y } ( x , y )$ is

A) $\frac { x ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$
B) $\frac { 2 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$
C) $\frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$
D) $\frac { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$
E) $- \frac { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$

Question 58

The symmetric equations of the tangent line to the curve of intersection of the surface $z = 16 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 }$ and the plane y = 2 at the point (1, 2, 11) are

A) $z - 11 = - 2 ( x - 1 ) , y = 2$
B) $z - 11 = \frac { x - 1 } { \frac { 1 } { 2 } } , y = 2$
C) $2 z - 11 = \frac { x - 1 } { - \frac { 1 } { 2 } } , y = 2$
D) $2 z - 11 = \frac { x - 1 } { \frac { 1 } { 2 } } , y = 2$
E) $4 z - 11 = \frac { x - 1 } { - \frac { 1 } { 2 } } , y = 2$

Question 59

The symmetric equations of the tangent line to the curve of intersection of the surface $z = 16 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 }$ and the plane x = 1 at the point (1, 2, 11) are

A) $2 z - 11 = \frac { y - 2 } { - \frac { 1 } { 4 } } , x = 1$
B) $4 z - 11 = \frac { y - 2 } { \frac { 1 } { 4 } } , x = 1$
C) $4 z - 11 = \frac { y - 2 } { - \frac { 1 } { 4 } } , x = 1$
D) $z - 11 = \frac { y - 2 } { \frac { 1 } { 4 } } , x = 1$
E) $z - 11 = - 4 ( y - 2 ) , x = 1$

Question 60

The symmetric equations of the tangent line to the curve of intersection of the surface $z = x ^ { 2 } + y ^ { 2 }$ and the plane y = 2 at the point (1, 2, 5) are

A) $z - 5 = 2 ( x - 1 ) , y = 2$
B) $z - 5 = \frac { x - 1 } { - 2 } , y = 2$
C) $2 z - 5 = \frac { x - 1 } { 2 } , y = 2$
D) $2 z - 5 = \frac { x - 1 } { - 2 } , y = 2$
E) $4 z - 5 = \frac { x - 1 } { 2 } , y = 2$

Question 61

Let $z = x ^ { 2 } + y ^ { 2 }$ . Then $\Delta z$ , the change of z from (1, 3) to (1.1, 3.2), is

A)2.01
B)1.87
C)1.45
D)1.25
E)1.08

Question 62

Let $z = \frac { x y } { x + y }$ . Then $\Delta z$ , the change of z from (-1, 2) to (-0.9, 1.9), is

A)1.04
B)0.87
C)0.63
D)0.29
E)0.15

Question 63

Let $z = 3 x ^ { 2 } + x y - 2 y ^ { 3 }$ . Then the differential $d ^ { z}$ is

A) $( 6 x + y ) d x - \left( x + 6 y ^ { 2 } \right) d y$
B) $( 6 x + y ) d x + \left( x + 6 y ^ { 2 } \right) d y$
C) $( 6 x - y ) d x + \left( x - 6 y ^ { 2 } \right) d y$
D) $( 6 x + y ) d x - \left( x - 6 y ^ { 2 } \right) d y$
E) $( 6 x + y ) d x + \left( x - 6 y ^ { 2 } \right) d y$

Question 64

Let $z = x \cos y + y \sin x$ . Then the differential $d ^ { z}$ is

A) $( \cos y + y \cos x ) d x + ( - x \sin y - \sin x ) d y$
B) $( \cos y + y \cos x ) d x + ( - x \sin y + \sin x ) d y$
C) $( \cos y - y \cos x ) d x + ( x \sin y + \sin x ) d y$
D) $( \cos y - y \cos x ) d x - ( - x \sin y + \sin x ) d y$
E) $( \cos y - y \cos x ) d x + ( - x \sin y + \sin x ) d y$

Question 65

Let $z = x ^ { y }$ . Then the differential $d ^ { z }$ is

A) $\left( y x ^ { y - 1 } \right) d x + \left( y ^ { x } \ln x \right) d y$
B) $\left( x y ^ { x - 1 } \right) d x d x - \left( x ^ { y } \ln x \right) d y$
C) $\left( x y ^ { x - 1 } \right) d x + \left( x ^ { y } \ln x \right) d y$
D) $\left( y x ^ { y - 1 } \right) d x + \left( x ^ { y } \ln x \right) d y$
E) $\left( y x ^ { y - 1 } \right) d x - \left( x ^ { y } \ln x \right) d y$

Question 66

Let $z = \ln \left( \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right)$ . Then the differential $d ^ { z }$ is

A) $\frac { x d x + y d y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }$
B) $\frac { x d x - y d y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }$
C) $- \frac { x d x + y d y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }$
D) $- \frac { x d x - y d y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }$
E) $\frac { y d y + x d x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }$

Question 67

Let $z = \ln \left( \frac { x } { y } \right)$ . Then the differential $d ^ { z }$ is

A) $- \frac { d x } { x } + \frac { d y } { y }$
B) $- \frac { d x } { x } - \frac { d y } { y }$
C) $\frac { d x } { x } - \frac { d y } { y }$
D) $\frac { d x } { x } + \frac { d y } { y }$
E) $\frac { d x } { y } - \frac { d y } { x }$

Question 68

Let $z = e ^ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }$ . Then the differential $d ^ { z }$ is

A) $e ^ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } ( x d x + y d y )$
B) $- 2 e ^ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } ( x d x + y d y )$
C) $2 e ^ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } ( - x d x + y d y )$
D) $2 e ^ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } ( x d x - y d y )$
E) $2 e ^ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } ( x d x + y d y )$

Question 69

Let $z = e ^ { 5 x y }$ . Then the differential $d ^ { z }$ is

A) $5 e ^ { 5 x y } ( y d x - x d y )$
B) $5 e ^ { 5 x y } ( y d x + x d y )$
C) $- 5 e ^ { 5 x y } ( y d x + x d y )$
D) $5 e ^ { 5 x y } ( - y d x + x d y )$
E) $e ^ { 5 x y } ( y d x + x d y )$

Question 70

Let $z = \sin ( x y )$ . Then the differential $d ^ { z }$ is

A) $2 \cos ( x y ) [ y d x + x d y ]$
B) $\cos ( x y ) [ - y d x + x d y ]$
C) $\cos ( x y ) [ y d x + x d y ]$
D) $\cos ( x y ) [ y d x - x d y ]$
E) $- \cos ( x y ) [ y d x + x d y ]$

Question 71

Let $w = e ^ { y z } + e ^ { x z } + e ^ { x y }$ . Then the differential $d ^ { w }$ is

A) $\left( z e ^ { x z } + y e ^ { x y } \right) d x - \left( z e ^ { y z } + x e ^ { x z } \right) d y - \left( x e ^ { x z } + y e ^ { y z } \right) d z$
B) $- \left( z e ^ { x z } + y e ^ { x y } \right) d x + \left( z e ^ { y z } + x e ^ { x z } \right) d y + \left( x e ^ { x z } + y e ^ { y z } \right) d z$
C) $\left( z e ^ { x z } + y e ^ { x y } \right) d x - \left( z e ^ { y z } + x e ^ { x z } \right) d y + \left( x e ^ { x z } + y e ^ { y z } \right) d z$
D) $\left( z e ^ { x z } + y e ^ { x y } \right) d x + \left( z e ^ {y z } + x e ^ { x z } \right) d y - \left( x e ^ { x z } + y e ^ { yz } \right) d z$
E) $\left( z e ^ { x z } + y e ^ { x y } \right) d x + \left( z e ^ { y z } + x e ^ { x y } \right) d y + \left( x e ^ { x z } + y e ^ { y z } \right) d z$

Question 72

Let $w = e ^ { x y z }$ . Then the differential $d ^ { w }$ is

A) $e ^ { x y z } ( y z d x - x z d y + x y d z )$
B) $e ^ { x y z } ( y z d x + x z d y + x y d z )$
C) $e ^ { x y z } ( y z d x + x z d y - x y d z )$
D) $e ^ { x y z } ( y z d x - x z d y - x y d z )$
E) $e ^ { x y z } ( - y z d x + x z d y + x y d z )$

Question 73

Let $w = y z ^ { 2 } + x ^ { 2 } z + x y ^ { 2 }$ . Then the differential $d ^ { w }$ is

A) $- \left( 2 x z + y ^ { 2 } \right) d x + \left( 2 x y + z ^ { 2 } \right) d y + \left( 2 y z + x ^ { 2 } \right) d z$
B) $\left( 2 x z + y ^ { 2 } \right) d x - \left( 2 x y + z ^ { 2 } \right) d y - \left( 2 y z + x ^ { 2 } \right) d z$
C) $\left( 2 x z + y ^ { 2 } \right) d x + \left( 2 x y + z ^ { 2 } \right) d y + \left( 2 y z + x ^ { 2 } \right) d z$
D) $\left( 2 x z + y ^ { 2 } \right) d x - \left( 2 x y + z ^ { 2 } \right) d y + \left( 2 y z + x ^ { 2 } \right) d z$
E) $\left( 2 x z + y ^ { 2 } \right) d x + \left( 2 x y + z ^ { 2 } \right) d y - \left( 2 y z + x ^ { 2 } \right) d z$

Question 74

Let $w = e ^ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } }$ . Then the differential $d ^ { w }$ is

A) $2 e ^ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } ( x d x + y d y + z d z )$
B) $2 e ^ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } ( x d x - y d y + z d z )$
C) $2 e ^ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } ( x d x + y d y - z d z )$
D) $2 e ^ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } ( x d x - y d y - z d z )$
E) $2 e ^ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } ( - x d x + y d y + z d z )$

Question 75

Let $w = \cos ( x y z )$ . Then the differential $d ^ { w }$ is

A) $\sin ( x y z ) [ y z d x + x z d y - x y d z ]$
B) $- \sin ( x y z ) [ y z d x + x z d y - x y d z ]$
C) $- \sin ( x y z ) [ y z d x + x z d y + x y d z ]$
D) $- \sin ( x y z ) [ y z d x + x z d y + x y d z ]$ .
E) $\sin ( x y z ) [ y z d x + x z d y + x y d z ]$

Question 76

Let $w = \tan ( x y z )$ . Then the differential $d ^ { w }$ is

A) $\sec ^ { 2 } ( x y z ) [ y z d x - x z d y + x y d z ]$
B) $\sec ^ { 2 } ( x y z ) [ y z d x + x z d y + x y d z ]$
C) $\sec ^ { 2 } ( x y z ) [ y z d x + x z d y - x y d z ]$
D) $\sec ^ { 2 } ( x y z ) [ y z d x - x z d y - x y d z ]$
E) $\sec ^ { 2 } ( x y z ) [ - y z d x + x z d y + x y d z ]$

Question 77

Let $z = x ^ { 2 } + y ^ { 2 }$ . Then the change of z from (1, 3) to (1.1, 3.2) approximated by $d ^ { z }$ is

A)0.52
B)0.74
C)1.4
D)1.27
E)1.77

Question 78

Let $z = 2 x ^ { 2 } + x y - y ^ { 2 }$ . Then the change of z from (2, -1) to (2.1, -1.1) approximated by $d z$ is

A)1.32
B)0.94
C)0.77
D)0.58
E)0.3

Question 79

Consider a rectangular solid with a square end of side length 10 inches and a length of 20 inches. If the measurements are accurate to within 0.1 inch, then the estimated error of the volume in cubic inches using differential is
​

A)50
B)72.5
C)88.1
D)93.7
E)102.3

Question 80

Consider a right circular cone with radius 4 inches and height 8 inches. If the measurements are accurate to within 0.1 inch, then the estimated error of the volume in cubic inches using differential is

A) $\frac { 4 \pi } { 11 }$
B) $\frac { 4 \pi } { 9 }$
C) $\frac { 4 \pi } { 7 }$
D) $\frac { 4 \pi } { 5 }$
E) $\frac { 8 \pi } { 3 }$